Question

如图，已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，CE平分∠DCO交⊙O于点E．（1）求证：点E平分弧ADB；（2）若⊙O

如图，已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，CE平分∠DCO交⊙O于点E．（1）求证：点E平分弧ADB；（2）若⊙O的半径为2，CD=23．①求点O到弦AC的距离；②在圆周上，共有几个点到直线AC的距离为1的点，在图中画出这些点，并指出△AOC的外接圆的圆心的位置；③若圆上有一动点P从点A出发，顺时针方向在圆上运动一周，当S△POA=S△AOC时，求点P所走过的弧长．

Answer 1

解答：（1）证明：如图1，连接OE，
∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，
又∵CE平分∠OCD，∴∠OCE=∠ECD，
∴∠OEC=∠ECD，∴OE∥CD，
∵CD⊥AB，∴OE⊥AB，
即∠AOE=∠EOB=90°，
∴弧AE=弧EB，
即点E平分弧ADB；

（2）解：①如图1，过O点作OF⊥AC于F，则AF=CF．
∵CD⊥AB于H，∴CH=DH=

1

2

CD=

3

．
在Rt△OCH中，∵OH=

4?3

=1，∴∠COH=60°，
∴∠OAC=30°，∴OF=

1

2

OA=1；

②共有三个点，其一是延长OF交⊙O于M点，
另外过O点作AC的平行线交⊙O于点N、K，故共有三个点．
△AOC的外心就是点M；

③∵∠AOC=120°，
∴点P有四个点满足S_△POA=S_△AOC，
分别是∠AOP=60°、120°、240°、300°，
∴弧AP的长分别为：

60π×2

180

=

2π

3

，

120π×2

180

=

4π

3

，

240π×2

180

=

8π

3

，

300π×2

180

=

10

3

π．