(2012?成都)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为

(2012?成都)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K.(1)求证:KE=GE;(2... (2012?成都)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K.(1)求证:KE=GE;(2)若KG2=KD?GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,若sinE=35,AK=23,求FG的长. 展开
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逿儿
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解:(1)如答图1,连接OG.
∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,
又OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,
∴KE=GE.

(2)AC∥EF,理由为:
连接GD,如答图2所示.
∵KG2=KD?GE,即
KG
KD
=
GE
KG

KG
GE
=
KD
KG
,又∠KGE=∠GKE,
∴△GKD∽△EGK,
∴∠E=∠AGD,又∠C=∠AGD,
∴∠E=∠C,
∴AC∥EF;

(3)连接OG,OC,如答图3所示.
sinE=sin∠ACH=
3
5
,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,
∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t,∴HK=CK-CH=t.
在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2
即(3t)2+t2=(2
3
2,解得t=
30
5

设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,
由勾股定理得:OH2+CH2=OC2
即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r=
25
6
t=
5
30
6

∵EF为切线,∴△OGF为直角三角形,
在Rt△OGF中,OG=r=
5
30
6
,tan∠OFG=tan∠CAH=
CH
AH
=
4
3

∴FG=
OG
tan∠OFG
=
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