如图,已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,CE平分∠DCO交⊙O于点E.(1)求证:点E平分弧ADB;(2)若⊙O
如图,已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,CE平分∠DCO交⊙O于点E.(1)求证:点E平分弧ADB;(2)若⊙O的半径为2,CD=23.①求点O到弦AC的距离;②...
如图,已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,CE平分∠DCO交⊙O于点E.(1)求证:点E平分弧ADB;(2)若⊙O的半径为2,CD=23.①求点O到弦AC的距离;②在圆周上,共有几个点到直线AC的距离为1的点,在图中画出这些点,并指出△AOC的外接圆的圆心的位置;③若圆上有一动点P从点A出发,顺时针方向在圆上运动一周,当S△POA=S△AOC时,求点P所走过的弧长.
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解答:(1)证明:如图1,连接OE,
∵OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,
又∵CE平分∠OCD,∴∠OCE=∠ECD,
∴∠OEC=∠ECD,∴OE∥CD,
∵CD⊥AB,∴OE⊥AB,
即∠AOE=∠EOB=90°,
∴弧AE=弧EB,
即点E平分弧ADB;
(2)解:①如图1,过O点作OF⊥AC于F,则AF=CF.
∵CD⊥AB于H,∴CH=DH=
CD=
.
在Rt△OCH中,∵OH=
=1,∴∠COH=60°,
∴∠OAC=30°,∴OF=
OA=1;
②共有三个点,其一是延长OF交⊙O于M点,
另外过O点作AC的平行线交⊙O于点N、K,故共有三个点.
△AOC的外心就是点M;
③∵∠AOC=120°,
∴点P有四个点满足S△POA=S△AOC,
分别是∠AOP=60°、120°、240°、300°,
∴弧AP的长分别为:
=
,
=
,
=
,
=
π.
∵OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,
又∵CE平分∠OCD,∴∠OCE=∠ECD,
∴∠OEC=∠ECD,∴OE∥CD,
∵CD⊥AB,∴OE⊥AB,
即∠AOE=∠EOB=90°,
∴弧AE=弧EB,
即点E平分弧ADB;
(2)解:①如图1,过O点作OF⊥AC于F,则AF=CF.
∵CD⊥AB于H,∴CH=DH=
1 |
2 |
3 |
在Rt△OCH中,∵OH=
4?3 |
∴∠OAC=30°,∴OF=
1 |
2 |
②共有三个点,其一是延长OF交⊙O于M点,
另外过O点作AC的平行线交⊙O于点N、K,故共有三个点.
△AOC的外心就是点M;
③∵∠AOC=120°,
∴点P有四个点满足S△POA=S△AOC,
分别是∠AOP=60°、120°、240°、300°,
∴弧AP的长分别为:
60π×2 |
180 |
2π |
3 |
120π×2 |
180 |
4π |
3 |
240π×2 |
180 |
8π |
3 |
300π×2 |
180 |
10 |
3 |
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