Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a>0）,且方程

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a>0）,且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为x₁、x₂，x₁+x₂=5，x₁x₂=4
Ⅰ.当a=1，且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的表达式
Ⅱ.在Ⅰ的条件下，求f（x）在点（2，f（2））处的切线方程
Ⅲ.若f（x)在（-3，-1）内单调递减，求a的取值范围

Answer 1

（1）
f（x）=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f'(x）-9x=0
即3ax^2+(2b-9)x+c=0
由韦达定理得：
-(2b-9)/(3a)=x₁+x₂=5
c/(3a)=x₁x₂=4
c=12a, b=(9-15a)/2
当a=1时，b=-3,c=12
曲线y=f（x）过原点,d=0
f（x）=x³-3x²+12x
(2)
f(2)=20,切点（2,20)
f'(x)=3x^2-6x+12
斜率k=f'(2)=12
f（x）在点（2，f（2））处的切线方程
y=12(x-2)+20,12x-y-4=0
(3)依题意 x∈（-3，-1），
f'(x)=3ax^2-(9-15a)x+12a≤0恒成立
即 a(x^2+5x+4)≤3x恒成立
∵ x^2+5x+4=(x+1)(x+4)
当 x∈（-3，-1）时,(x+1)(x+4)<0
∴a≥3x/(x^2+5x+4) 恒成立
设 g(x)=3x/(x^2+5x+4)，x∈（-3，-1）
g'(x)=-3(x+2)(x-2)/(x^2+5x+4)^2>0
∴x∈（-3，-2）g'(x)>0,g(x)递增，
x∈（-2，-1）g'(x)<0, g(x)递减，
∴g(x)（max)=g(-2)=3,
∴若f（x)在（-3，-1）内单调递减，
a的取值范围是 a≥3

Answer 2

1,f(x)=x^3+bx^2+cx+d，f(0)=d=0，f(x)=x^3+bx^2+cx，f'(x)=3x^2+2bx+c。
f'(x)-9x=3x^2+(2b-9)x+c=0，x1+x2=-(2b-9)/3=5，x1x2=c/3=4，b=-3，c=12。
f(x)=x^3-3x^2+12x。
2,f(2)=8-12+24=20，f'(x)=3x^2-6x+12，f'(2)=12-12+12=12
f(x)在点(2,20)处的切线方程为：y-20=12(x-2)，y=12x-4。
3,f'(x)=3ax^2+2bx+c，f'(x)-9x=3ax^2+(2b-9)x+c=0，-(2b-9)/(3a)=5，c/(3a)=4。
b=(9-15a)/2，c=12a。f'(x)=3ax^2+(9-15a)x+12a开口向上，在区间(-3,-1)内小于0。
则有f'(-3)=27a+45a-27+12a<=0，f'(-1)=3a+15a-9+12a<=0，a<=3/10。

Answer 3

f'=3ax^2+2bx+c
f'(x)-9x=3ax^2+(2b-9)x+c
x1+x2=(9-2b)/3a=5
x1x2=c/3a=4
I.当a=1时，
(9-2b/3)=5;b=-3
c/3a=4;c=12
f(x)=x³-3x²+12x+d
代入原点坐标得
0=0+d
d=0
所以f(x)=x³-3x²+12x
II.f'=3x²-6x+12
f'(2)=12-6+12=18
f(2)=8-12+24=20
设切线方程为y=18x+b
代入(2,20)得
20=36+b
b=-16
所以切线方程为y=18x-16
最后一题另待高手吧，我看你的题好象有点问题。

Answer 4

因为a=1时曲线过原点，所以d=0；又因为x₁+x₂=5，x₁x₂=4
得出x1=1,x2=4,这俩个根是方程（x-x1）（x-x2）=0即是（x-1）（x-4）=0；所以x²-5x+4=0,
f（x)-9x=0,所以，ax³+bx²+cx+d-9x=0,