Question

设函数f(x)＝a3x3+bx2+cx+d，（a＞0），且函数y=f（x）-9x=0的极值点分别为1、4（1）当a=-2且y=f（x）过

设函数f(x)＝a3x3+bx2+cx+d，（a＞0），且函数y=f（x）-9x=0的极值点分别为1、4（1）当a=-2且y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（2）若f（x）在（-∞，+∞）内无极值，求a的取值范围．

Answer 1

f′（x）=ax²+2bx+c，
由题意可得：1，4 是方程ax²+2bx+c-9=0的两根，
所以b=-

5

2

a，c=4a+9．
（1）若a=-2，代入上式得：b=5，c=1，
又f（0）=0，所以d=0，
所以f（x）=-

2

3

x³+5x²+x．
（2）依题意：f（x）在（-∞，+∞）上单调，
所以f′（x）ax²+2bx+c≥0恒成立，
则4b²-4ac≤0，即25a²-4a（4a+9）≤0，
解得0＜a≤4．
所以a的取值范围为（0，4]．