Question

幂函数导数的推导

Answer 1

幂函数f（x）＝x ^n，其导数为f＇（x）＝nx^（n－1），证明其导数利用导数定义f＇（x）＝lim△y／△x，（△x趋于0）。
证法一：n为自然数
f＇（x）＝lim【（x＋△x）^n一x^n】／△x
＝lim｛（x^n＋Cn 1x^（n－1）△x＋Cn 2x^（n－2）△x^2＋…＋Cn n△x^n）－x^n｝／△x
＝lim｛Cn 1x^（n－1）＋Cn 2x^（n－2）△x＋…＋Cn n△x^（n－1）｝
＝limCn 1x^（n－1）
＝nx^（n－1）
证法二：n为任意实数
y=x^n，两边取对数，得
lny=nlnx，两边对x求导
(1/y)*y'=a/x所以
y'=ny/x
=nx^n/x
=nx^(n-1)

Answer 2

用导数定义，f＇(x)=lim△x→0△y/△x
(x^n)＇=lim△x→0(（x+△x）^n-x^n)/△x=lim△x→0△x(nx^n-1+…+△x^n-1)/△x=lim△x→0（nx^n-1+…+△x^n-1）=nx^n-1+0+…+0=nx^n-1