Question

已知函数f(x)=【2的x次方-2的-x次方】/2的x次方+2的-x次方：

1.求函数的定义域和值域；证明：f(x)是单调函数答案：1.定义域：R，值域：（-1，1） 2.，用定义证明

Answer 1

(1)f(x)= [2^x-2^(-x)]/[2^x+2^(-x)]，
∵对于任意的x∈R，2^x>0 ，2^(-x)>0，2^x+2^(-x)>0，
∴函数的定义域为R.

令f(x)=y，
则y= [2^x-2^(-x)]/[2^x+2^(-x)]
[2^x+2^(-x)]y=[2^x-2^(-x)]
[2^(2x)+1]y=[2^(2x)-1]
2^(2x)=(1+y)/(1-y)
∵当x∈R时， 2^(2x) ∈（0＋，∞）
∴(1+y)/(1-y)>0，解得-1<y<1，
∴函数值域为（-1，1）.
（ 2 )
函数f（x）=（2^x-2^-x）/(2^x+2^-x)
=[2^x-(1/2^x)]/[2^x+(1/2^x)]
=[(2^2x-1)/2^x]/[(2^2x+1)/2^x]
分子分母同时约去2^x得f(x)=(2^2x-1)/(2^2x+1)

法一：定义求解
在定义域上，即（—∞，+∞）上任取x1,x2，且x1<x2
∴f(x1)-f(x2)=[(2^2x1-1)/(2^2x1+1)]-[(2^2x2-1)/(2^2x2+1)]
=[(2^2x1-1)(2^2x2+1)-(2^2x2-1)(2^2x1+1)]/[(2^2x1+1)(2^2x2+1)]
分子展开并化简得f(x1)-f(x2)=[2^(2x1+1)-2^(2x2+1)]/[(2^2x1+1)(2^2x2+1)]
∵函数2^(2x+1)是单调递增函数，x1<x2
∴2x1+1<2x2+1
∴[2^(2x1+1)-2^(2x2+1)]<0
又∵[(2^2x1+1)(2^2x2+1)]>0
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在定义域上是单调递增函数