Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点,CF=AB=2CE,AB:AD:AA1=1:2:4.

问（1）求异面直线EF与A1D所成的角的余弦值
（2）证明AF⊥平面A1ED
(3) 求二面角A1-ED-F的正弦值

Answer 1

解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=1，依题意得
D（0，2，0），F（1，2，0），A1（0，0，4），E（1， 3／2，0）
（1）易得 EF→=（0， ½，1）， A1D→=（0，2，-4），于是
cos ＜EF→，A1D→＞= EF→•A1D→|EF→|•|A1D→|=- 3／5
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为 3／5．
（2）证明：易知 AF→=（1，2，1）， EA1→=（-1，- 3／2，4）， ED→=（-1， ½，0）
于是 AF→• EA1→=0， AF→• ED→=0，因此AF⊥A1E，AF⊥ED，又A1E∩ED=E，
所以AF⊥平面A1ED．
（3）设平面EFD的法向量 n→=（x，y，z）
则 n→•EF→=0
n→•ED→=0
即 12y+z=0
-x+12y=0
不妨令X=1，可得 n→=（1，2，-1）由（2）可知， AF→为平面A1ED的一个法向量．
于是cos ＜n→，AF→＞= n→•AF→|n→|•|AF→|= 2／3，从而sin ＜n→，AF→＞=√ 5／3，
所以二面角A1-ED-F的正弦值为 √5／3

Answer 2

啥意思？

Answer 3

连接B1C，B1C∥A1D，求B1C与EF所成角的余弦值就行
设AB=x
则AD=2x
AA1=4x
CF=x
CE=x/2
CF/CC1=CE/BC=1/4
EF∥BC1
设BC1
B1C交于o，只需求角B1OC1的余弦值
B1O=C1O=根号5
*x
B1C1=2*x
cos∠B1OC1=(B1O^2+C1O^2-B1C1^2)/2*B1O*C1O
=3/5