Question

已知向量a=(cos3/2x,sin3/2x),b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[-π/3,π/4]

已知向量a=(cos3/2x,sin3/2x),b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[-π/3,π/4]
①求a·b 及│a+b│
②若f(x)=a·b -│a+b│，求f(x)的最大值和最小值

Answer 1

①a·b=cos(3/2x)*cos(x/2)-sin(3/2x)*sin(x/2)=cos(3/2x+x/2)；
a+b=（cos3/2x+cosx/2，sin3/2x-sinx/2）；使用和差化积公式得
a+b=（2cos(3/4x+x/4)*cos(3/4x-x/4)，2cos(3/4x+x/4)*sin(3/4x-x/4)）
|a+b|=2|cos(3/4x+x/4)| （cos²θ+sin²θ=1）
②f(x)=a·b-|a+b|=cos(3/2x+x/2)-2|cos(3/4x+x/4)|
设3/4x+x/4=t，则f(x)=cos2t-2|cost|=2cos²t-1-2|cost|=2|cost|²-2|cost|-1
其中t=3/4x+x/4是对勾函数，x>0时t≥2√[(3/4x)*(x/4)]=√3/2，则值域为t∈(-∞,-√3/2]∪[√3/2,+∞)
显然t的值域包含完整周期，使cost可以取到[-1,1]上的任意值，则|cost|∈[0,1]
则f(x)=2|cost|²-2|cost|-1=2(|cost|-1/2)²-3/2，
|cost|=0或1时有最大值-1；|cost|=1/2时有最小值3/2

Answer 2

向量a.向量b=cos3x/2*cosx/2-sin3x/2*sinx/2.
(1) a.b=cos(3x+x)/2=cos2x. ∵x∈[-π/3,π/4], 2x∈[-2π/3,π/2]
a.b=cos2x=cos(-2π/3=cos2π/3=cos(π-π/3)=-cosπ/3=-1/2.
或，a.b=cos2x=cosπ/2=0.
a+b=(cos3x/2+cosx/2,sin3x/2-sinx/2).
=2(cos2xcosx,cos2xsinx).
|a+b|=√2^2[cos^2(2x)cos^2x+cos^2(2x)sin^2x]
=2√[cos^2(2x)(cos^2x+sin^2x)]
=2cos2x.
(2) f(x)=a.b-|a+b|=cos2x-2cos2x=co2x(1-2)=-cos2x
前面解出，cos2x=-1/2,∴f(x)max=-(-1/2)=1/2；
cos2x=0, f(x)min=0.