Question

10.角动量的本征值和本征函数

Answer 1

太难了，角动量真的是太难整了。感觉要花不少功夫。

首先，把前面的内容又复习了一遍，推了推对易关系，把张量表示回顾了一下。然后，继续往下看，本征值，分为z方向分量的本征值，和角动量平方的本征值，因为有两个量，所以使用两个符号来表示，M，L。M代表分量本征值，L代表平方本征值，是分量本征值的上界，一般就讲，这个系统具有角动量L，含义就是，平方本征值为L（L+1）。但是，对于角动量为L的能级，其实可以取2L+1个不同的态（因为M还未确定，M=L，L-1，...，-L+1，-L），这些态能量相等，也就是这个能级有2L+1重简并。

然后是各算符的矩阵元，这一块牵扯很多，说实话，我也没看懂，只有特定的态之间的跃迁是允许的，即矩阵元不为零。但为什么呢？因为是对角形式，其实就是实数，所以是任意交换的，提到积分外面，所以矩阵元就变成了不同本征值对应的本征函数的内积了，结果就是0。于是算符 就只能实现本征值的提升 ，另一个算符 。其他形式的态的跃迁是不允许的。

接着是本征函数，求解球坐标下的本征方程的解，一大堆公式，又引入了球谐函数，角动量对应的本征函数就是球谐函数，得到了连带勒让德多项式表示的本征函数。这些太复杂了，而且并不是重点。

最后是矢量的矩阵元，给出了一堆的公式，很长。其间频繁的使用狄拉克记号表示的跃迁矩阵元，感觉看得云里雾里的。

先到这吧，这也算学习中遇到的第一个比较大的困难了，需要学习和验证很多东西，特殊函数理论没必要专门去看，毕竟即使看了，推导依然是很困难或者说很繁琐的事情，其实，这些东西也并不影响本质的东西，本质就是一些性质，这些函数不过是这些性质的载体，不应该本末倒置。或许学到后面就豁然开朗了。不过，之后的内容可能就要反复看，才能看明白了，想要迅速解决是不太可能了。