Question

已知函数f(x)=kx,g(x)=lnx/x .(1)求函数g(x)的单调区间

（2）若函数h(x)=f(x)-xg(x)在区间[1/e,e]上的最小值为1，求k的值。

Answer 1

(1)g'(x)=(1-lnx)/x^2>0，则0<x<e。
g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+无穷)上单调递减。
(2)h(x)=kx-lnx(x>0)，h'(x)=k-1/x=(kx-1)/x。
当k<=1/e时，h'(x)在[1/e,e]上恒小于0，h(x)递减，最小值为h(e)=ke-1=1，k=2/e，与k<=1/e不符。
当1/e<k<=e，1/e<=1/k<e，h(x)在(1/e,1/k)上递减，在(1/k,e)上递增。
最小值为h(1/k)=1-ln(1/k)=1，k=1。
当k>e时，0<1/k<1/e，h(x)在[1/e,e]上递增，最小值为h(1/e)=k/e+1=1，k=0，与k>e不符。
综上所述，若函数h(x)=f(x)-xg(x)在区间[1/e,e]上的最小值为1，则k=1。

Answer 2

(1) g'(x)=(1-lnx)/x²，令g'(x)≥0，得1-lnx≥0，lnx≤1，0<x≤e，即增函数区间为(0，e],
同理，得减函数区间为[e，+∞)
(2) h(x)=kx -lnx，h'(x)=k -1/x，
①若k≤0，则 h'(x)<0，h(x)是减函数，在区间[1/e,e]上的最小值为h(e)=ke-1=1，k=2/e>0，舍；
②若k>0，令h'(x)=0，解得 x=1/k，易得 h(x)在(0，1/k]上减，在[1/k，∞)上增，
ⅰ).若 0<k≤1/e，则e≤1/k，h(x)在[1/e，e]上减，最小值为h(e)=ke-1=1，解得 k=2/e>1/e，舍；
ⅱ).1/e<k<e，则1/e<1/k<e，h(x)在[1/e，e]上的最小值为h(1/k)=1+lnk=1，解得 k=1；
ⅲ).若 k≥e，则1/e≥1/k，h(x)在[1/e，e]上增，最小值为h(1/e)=k/e+1=1，解得 k=0,舍；
从而 k=1

Answer 3

1)g'(x)=(1-lnx)/x^2=0, x=e
0<x<e, f'(x)>0, 单调增
x>e, f'(x)<0, 单调减
2)h(x)=kx-lnx
h'(x)=k-1/x=0, x=1/k为极小值点
h(1/k)=1+lnk
若1/e=<1/k<=e, 则1+lnk=1, k=1符合
若 1/k>e, k<1/e, h'(x)<0, h(e)=ke-1=1, k=2/e, 不符
若1/k<e, k>1/e, h'(x)>0, h(1/e)=k/e+1=1, k=0, 不符
所以只有k=1