Question

一道和三角形有关的初中数学竞赛题求解！

在△ABC中，∠ABC=∠ACB=20°。CD平分∠ACB交AB于点D。在线段BC上取一点E，使得∠CDE=20°。则∠AEC的大小为多少度？
求过程。

Answer 1

令B(-1,0) C(1,0) A(0,tan20°)

直线CD方程为：y=-tan10°*(x-1)
直线AB方程为：y=tan20°*(x+1)
-tan10°*(x-1)=tan20°*(x+1)
(tan10°+tan20°)x=tan10°-tan20°
点D的横坐标为(tan10°-tan20°)/(tan10°+tan20°)
点D的纵坐标为2tan10°tan20°/(tan10°+tan20°)
所以D((tan10°-tan20°)/(tan10°+tan20°),2tan10°tan20°/(tan10°+tan20°))
因为∠DEB=∠CDE+∠ACB=30°
所以直线DE方程为：y-2tan10°tan20°/(tan10°+tan20°)=-tan30°*[x-(tan10°-tan20°)/(tan10°+tan20°)]
因为点E在线段BC上，所以点E的纵坐标为0
-2tan10°tan20°/(tan10°+tan20°)=-tan30°*[x-(tan10°-tan20°)/(tan10°+tan20°)]
2√3*tan10°tan20°=(tan10°+tan20°)x-(tan10°-tan20°)
x=(tan10°-tan20°+2√3*tan10°tan20°)/(tan10°+tan20°)
所以E((tan10°-tan20°+2√3*tan10°tan20°)/(tan10°+tan20°),0)
直线AE的斜率=(tan10°+tan20°)/(1-tan10°/tan20°-2√3*tan10)
=tan100°
所以∠AEC=100°

追问

感谢回答，不过这是一道初中的竞赛题，而感觉您用的方法是高中的（感觉涉及到了部分的三角恒等变换）。希望能给出一个初中水平的解答，谢谢。
另，答案应该没错，我画了个标准的图后用量角器量出来的确是100°

追答

我的这个解法只用到了平面直角坐标系中的一次函数，以及正切三角函数的基础知识，不涉及恒等变换，都是初中阶段的应知应会能力。只是最后一步计算直线AE斜率的过程较复杂，但据我所致，初中数学竞赛是可以使用科学型计算器的。因此最后答案可以直接通过计算器得出。