Question

物体达到圆周运动最高点所需要的最小速度后还能继续做圆周运动吗？他会不会掉下来？

怎样保证物体做圆周运动不会掉下来？谢谢！

Answer 1

假设一个竖直平面内有一个半径为R的光滑圆轨道好了，物体从底部以一定初速度v冲上去，“恰好能经过最高点”。
“恰好”意味着重力做向心力（因为轨道的支撑力恰好为零），这个时候可以得到速度大小为v_0 = √(gR)。
“不会掉下来”，就先看这个速度为v_0的瞬间吧：没有圆轨道限制的时候它会做平抛运动，至于有圆轨道的时候会不会把物体限制在圆轨道上，可以比较上述平抛运动的轨迹与圆轨道的位置，如果平抛的轨迹会超过圆轨道，或者说平抛的轨迹出现在圆轨道的外侧，那么物体在这之后就会被限制在圆轨道上。
事实也确实如此，一条抛物线在顶点处的曲率圆是包裹在抛物线内侧的（我没证过，几何直观上是如此，要证明的话得费些口舌）。同时，计算v_0的时候，已经是“重力做向心力”，那么反过来也就可以知道，这个平抛运动在v_0处的曲率半径就是R，那么也就知道物体的运动会被圆轨道限制了。
至于之后的运动，物体是否会从圆轨道上脱落？
可以假设它在轨道上运动了α角之后脱落，显然α应当是个锐角。如果脱落，那么重力的径向分量应当大于圆周运动所需向心力的大小。但实际上结果是相反的，计算得出：重力径向分量为mgcos(α)，所需向心力为mg(3-2cos(α))，前者小于后者，圆轨道仍然提供支持力，物体不会脱落。