Question

4、如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．

4、如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明AE∥BC的理由；
（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想

Answer 1

解：（1）△DBC和△EAC会全等
证明：∵∠ACB=60°，∠DCE=60°
∴∠BCD=60°-∠ACD，∠ACE=60°-∠ACD
∴∠BCD=∠ACE
∵BC=AC，CE=CD
∴△DBC≌△EAC

（2）∵△DBC≌△EAC
∴∠EAC=∠B=60°
又∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC

（3）结论：AE∥BC
理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE
在△DBC和△EAC中，BC=AC
∠BCD=∠ACE，CD=CE
∴△DBC≌△EAC
∴∠EAC=∠B=60°
又∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC．

Answer 2

Answer 3

（1）全等
证明：∵等边
∴BC=AC DC=CE
∵∠ACB=∠ECD=60°
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD,即∠BCD=∠ACE;
∵BC=AC DC=CE
∠BCD=∠ACE;
全等
（2）证明:
∵∠ACB=∠ECD=60°;
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD,即∠BCD=∠ACE;
又BC=AC;DC=EC.则⊿BCD≌ΔACE(SAS).
∴∠B=∠EAC=60°=∠ACB,故AE∥BC.(内错角相等,两直线平行)
（3）证明：仍平行；
∵△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD， AC/EC=BC/DC，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠EAC=∠B，
又∵∠ACB=∠B，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．