Question

为什么“负负得正”？

Answer 1

是每一个上过中学的人都熟知的事实，但是即便是非常简单的“负负得正”，你有想过这是为什么吗？

1 司汤达的疑问

将财产记为正数，负债记为负数对于普通人来说确实是一件易于理解的事，这种记录方式始于7世纪的印度，它适用于加减法的运算，比如，本来有10元，支出12元，对应的算式是

这里的

对应的实际含义是“负债2元”。

然而，当要对其进行乘除法的时候，就会出现某些令人匪夷所思的问题，在12世纪，印度天文学家巴斯卡拉这样说道：“财产和财产的乘积，债金和债金的乘积均为财产，财产和债金的乘积则是债金。”根据他的说法，就有

债金

债金

财产

这个公式是什么意思呢？恐怕无人能够理解。18世纪的大数学家欧拉在其著作《代数学入门》采用过同样的说明方法，这让许多学习数学的人在初遇负数相乘问题的时候感到一头雾水。

司汤达（1783~1842）

《红与黑》的作者，19世纪法国批判现实主义作家司汤达在其年少时酷爱数学，但他同样也困惑于“负负得正”问题，他在其自传中这样写道：

似乎是由于年少的单纯，使我认为在数学中是不可能有虚假的，然而当了解了谁也没加证明的（负×负）=（正）时，该怎么办才好呢（这是代数学的基础之一）。当考虑某人有负的借款时，为何1万法郎的借款乘以500法郎借款，就会变成500万法郎的财产了呢……

实际上，司汤达提出了每一个学习代数的人都必然会提出的问题，即为什么“负负得正”？该如何直观地理解这件事？

2 从实际的角度

问题出在了对正负数的说明上。仔细想想，对于什么是财产

财产，债金

债金，恐怕谁也无法说明，因为金额再乘以金额是没有实际意义的。

M·克莱因（1908-1992）

对此，《古今数学思想》的作者，美国数学史家和数学教育家M·克莱因通过“负债模型”巧妙地说明了“负负得正”问题：

一个人每天欠债5元，从给定日期开始（比如今天）3天后欠债15元。如果将5元的负债记作

，那么“每天欠债5元，欠债3天”可以用数学来表达：

同样地，每天欠债5元，考虑这个人3天前的财产，那么就应该比今天的财产多15元。如果我们用

表示3天前，用

表示每天欠债，那么3天前他的财产情况就可以表示为

受此启发，我们也可以举出“批阅试卷”的例子来进行说明：

如果有一次考试某同学错了一道题，扣5分，则将其记为

，对应的算式是：

这里的1表示的实际含义是1道错题。

换个角度想，假若是老师批错了，那么很显然这位同学扣除的5分就会加回去了，其得分是

。1表示老师批对，那么相对应地，

则表示老师批错，对应的算式是：

上述两个例子是自然的，也是合乎情理的，可以帮助我们理解“负负得正”。

3 从运算逻辑的角度

从运算逻辑的角度来说，负负也必须要得正，因为有理数的运算必须遵循乘法分配律：

我们规定

实际上就是为了让负数的运算依然能保持乘法分配律的结果，例如：

则

根据乘法分配律，则有

因为

，所以对于

，其结果只能为1.

4 从几何的角度

给定

，

，则

和

均为正数。如图，则乘积

表示的实际含义是以

和

为两边的矩形（斜线阴影部分）的面积。

那么，这个矩形是如何变换得到的呢？实际上，它是由原来以

，

为两边的大矩形先取走标以水平线阴影的矩形面积

，再取走标以竖直线阴影的矩形面积

，但这样取走了两次标以双重线阴影的矩形面积

，必须将其放回，因此：

在这里如果令

，便得到

即得到了负数相乘的符号法则。

5 不能加以证明的“负负得正”

实际上，上述对“负负得正”的一些看似合理的说明充其量只是某些“解释”，而不能将其称之为严格的数学证明。特别是上面“从几何角度来说明负负得正”的例子，这样的“论证”是虚假的，因为它完全忽视了

公式之所以成立取决于不等式

，

，而令

则完全违背了这一点。

负数经过了很长一段时间才被人们所接受，很难相信直到17世纪其合法性还不能像正整数那样被人们所普遍承认，当有必要使用它们时，人们是相当犹疑和不安的，数学家有时将负数称为虚构数、假数之类。因为人类的天性更倾向于依附“具体”的事物，比如可数的物体（正整数）。对负数的运算毫无疑问是抽象的，为此人们曾反复地企图证明符号法则，但都失败了。

对数学家来说，经过了很长一段时间才认识到“负负得正”以及负数、分数所服从的其他定义是不能加以“证明”的。它们是我们创造出来的，为的是在保持算术基本规律的条件下使运算能够自如。能够并且必须加以证明的仅仅是：在这些定义的基础上，算术的交换律、结合律、分配律是保持不变的。