Question

解下列一阶线性微分方程 dy/dx=(x^2+y^2)/xy,y(-1)=2。

Answer 1

解下列一阶线性微分方程 dy/dx=(x²+y²)/xy,y(-1)=2。
解：dy/dx=x/y+y/x=1/(y/x)+y/x=1/u+u，其中u=y/x，即y=ux，于是dy/dx=u+x(du/dx)
故得u+x(du/dx)=1/u+u，即有x(du/dx)=1/u，分离变量得udu=dx/x，
积分之得u²/2=ln︱x︱+c/2，即u²=lnx²+c，
将u=y/x 代入即得通解(y/x)²=lnx²+c
将初始条件y(-1)=2代入得c=4，
于是得特解为y²=x²(lnx²+4)

追问

没算错吧

Answer 2

令y/x=u即 y=xu，y'=u+xu' 原式等于 y'=u+1/u 带入y'。 即为xu'=1/u xdu/dx =1/u 即udu=dx /x 解出为 1/2 u^2=lnx +c 再把u=y/x 带入即可。