Question

用数学归纳法证明(3n+1)7^n -1能被9整除

用高中方法,给出详细过程,谢谢!

Answer 1

我只帮这一次。看右边相关问题，里面答案就有。

证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除
数学归纳法
(1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除
(2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除
则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k
=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k
括号中的代数式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除
所以当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除
综合(1)(2)可知 对于任意自然数n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除

Answer 2

从第二步开始
设n=k时,(3k+1)7^k-1能被9整除,
则当n=k+1时,
[3(k+1)+1]7^(k+1)-1=(3k+4)×7^(k+1)-1
=(3k+1)×7^(k+1)+3×7^(k+1)-1
=7(3k+1)×7^(k)+21×7^(k)-1
=[(3k+1)×7^(k)-1]+6(3k+1)×7^(k)+21×7^(k)
=[(3k+1)×7^(k)-1]+(18k+27)×7^(k)
∵由假设[(3k+1)×7^(k)-1]能被9整除,(18k+27)×7^(k)显然能被9整除,
∴当n=k+1时,原式能被9整除,
∴命题成立.不懂的欢迎追问,