Question

哪位高人帮忙做下两个线性代数关于线性相关性的证明题,

Answer 1

首先我希望你不是想在百度知道上求一个作业题目答案而已,因为这两个题目其实都是很基础的证明题.
先说第二题,你需要知道如何证明一堆向量是线性无关的,就要知道线性无关的定义：
如果A1b1+A2b2+...+Anbn=0当且仅当A1=A2=...=An=0（其中A1...An为复数）,那么我们称b1,b2,...,bn为线性无关的.
现在题目告诉你a1,a2,.,ar线性无关,那么根据线性无关的定义,你可以得到如下的一个结论：
x1a1+x2a2+.+xrar=0当且仅当x1=x2=...=xr=0,现在你要利用这个结论去证明
y1b1+y2b2+...+yrbr=0当且仅当y1=y2=...=yr=0.
那么怎么证明“当且仅当”呢?就是两个方向"=>"和""这个方向的话,也就是已知y1b1+y2b2+...+yrbr=0,要证明y1=y2=...=yr=0,那么你就需要利用题目告诉你的b的定义“bn=a1+a2+...+an"
y1b1+y2b2+...+yrbr
=y1(a1)+y2(a1+a2)+y3(a1+a2+a3)+...+yr(a1+a2+...+ar)=0
合并同类项以后原式=a1(y1+y2+...+yr)+a2(y2+y3+...+yr)+...+aryr=0
由于a1,...,ar线性无关,所以
y1+y2+...+yr=0
y2+...+yr=0
...
y_(r-1)+yr=0
yr=0
所以y1=y2=...=yr=0
证毕
第一题（1）
根据题目意思,你知道An0=b,Aa1=0,Aa2=0这三个方程
然后你把前两个方程加起来
An0+Aa1=b+0
所以A(n0+a1)=b,所以n0+a1是解
把第一和第三个方程加起来
An0+Aa2=b+0
所以A(n0+a2)=b,所以n0+a2是解
第一题（2）
因为a1,a2是基础解系,所以a1,a2线性无关
我们用反证法证明n0,n1,n2线性无关（也就是证明x0n0+x1n1+x2n2=0当且仅当x0=x1=x2=0.也就是证明x0*3n0+x1a1+x2a2=0当且仅当x0=x1=x2=0,也就是证明n0,a1,a2线性无关）
假设n0,a1,a2线性相关,也就是说n0可以表示成a1,a2的线性组合,也就是说
n0=y1a1+y2a2（其中y1,y2为某两个复数）
但是!
An0=b
A(y1a1+y2a2)=An0=0
矛盾.所以n0,a1,a2不可能线性相关.
证明完毕.