Question

哪位高人帮忙做下两个线性代数关于线性相关性的证明题，急急急！在线等，麻烦写出详细过程。

:第一题：设n0是非齐次线性方程组AX=b的一个特解，a1,a2是其导出组AX=0的一个基础解系，试证明（1）n1=n0+a1,n2=n0+a2均是AX=b的解；
（2）n0,n1,n2线性无关。
第二题：设b1=a1,b2=a1+a2,...,br=a1+a2+...+ar,且向量组a1,a2,...,ar线性无关，证明向量组b1,b2,...,br线性无关。

Answer 1

首先我希望你不是想在百度知道上求一个作业题目答案而已，因为这两个题目其实都是很基础的证明题。
先说第二题，你需要知道如何证明一堆向量是线性无关的，就要知道线性无关的定义：
如果A1b1+A2b2+...+Anbn=0当且仅当A1=A2=...=An=0（其中A1...An为复数），那么我们称b1,b2,...,bn为线性无关的。
现在题目告诉你a1,a2,....,ar线性无关，那么根据线性无关的定义，你可以得到如下的一个结论：
x1a1+x2a2+....+xrar=0当且仅当x1=x2=...=xr=0，现在你要利用这个结论去证明
y1b1+y2b2+...+yrbr=0当且仅当y1=y2=...=yr=0。

那么怎么证明“当且仅当”呢？就是两个方向"=>"和"<="分别证明，
"<="这个方向很好证明，因为y1=y2=...=yr=0的话，y1b1+y2b2+...+yrbr=0显然成立。
"=>"这个方向的话，也就是已知y1b1+y2b2+...+yrbr=0，要证明y1=y2=...=yr=0，那么你就需要利用题目告诉你的b的定义“bn=a1+a2+...+an"
y1b1+y2b2+...+yrbr

=y1(a1)+y2(a1+a2)+y3(a1+a2+a3)+...+yr(a1+a2+...+ar)=0
合并同类项以后原式=a1(y1+y2+...+yr)+a2(y2+y3+...+yr)+...+aryr=0
由于a1,...,ar线性无关，所以
y1+y2+...+yr=0
y2+...+yr=0

...
y_(r-1)+yr=0
yr=0
所以y1=y2=...=yr=0
证毕

第一题（1）
根据题目意思，你知道An0=b，Aa1=0,，Aa2=0这三个方程
然后你把前两个方程加起来
An0+Aa1=b+0
所以A(n0+a1)=b，所以n0+a1是解
把第一和第三个方程加起来
An0+Aa2=b+0
所以A(n0+a2)=b，所以n0+a2是解
第一题（2）
因为a1,a2是基础解系，所以a1,a2线性无关
我们用反证法证明n0,n1,n2线性无关（也就是证明x0n0+x1n1+x2n2=0当且仅当x0=x1=x2=0。也就是证明x0*3n0+x1a1+x2a2=0当且仅当x0=x1=x2=0，也就是证明n0,a1,a2线性无关）
假设n0,a1,a2线性相关，也就是说n0可以表示成a1,a2的线性组合，也就是说
n0=y1a1+y2a2（其中y1,y2为某两个复数）
但是！！！！！！！！！
An0=b
A(y1a1+y2a2)=An0=0
矛盾。所以n0,a1,a2不可能线性相关。
证明完毕。

Answer 2

An1=A(n0+a1)=An0+Aa1=b+0=b
An2=A(n0+a2)=An0+Aa2=b+0=b

a1=n1-n0
a2=n2-n0
a1 a2线性无关
k1a1+k2a2=0 k1=k2=0
k1(n1-n0)+k2(n2-n0)=k1n1+k2n2+(-k1-k2)n0=0
k1=k2=-k1-k2=0
所以n0,n1,n2 为线性无关