Question

面积问题

在任意三角形纸片上，三边分别为a,b,c,AD为三角形高，剪一个平行四边形HGEF，使得它一边EF在BC上，顶点G,H在AC,AB上,AD与HG交于点M,如图，求证：平行四边形的面积不大于三角形的面积的一半。

Answer 1

证明：由题意知HG∥BC，则平行四边形HGEF的面积=2S△HGC
HG/BC=AG/AC=AH/AB=AM/AD=(AD-MD)/AD=1-MD/AD
S△AHG/S△HGC=AG/GC
S△AHC/S△HGC=AC/GC
S△AHC/S△ABC=AH/AB
S△ABC/S△HGC=AB*AC/(AH*GC)
GC/AG=BH/AH=AB/AH-1
GC=AG*AB/AH-AG
AH*GC=AG(AB-AH)
AH*GC/(AB*AC)=AG/AC-AG/AC*AH/AB=AG/AC-(AG/AC)^2
=1/4-(AG/AC-1/2)^2≤1/4
∴S△HGC≥4
S△ABC/平行四边形HGEF的面积≥2，即平行四边形的面积不大于三角形的面积的一半。
证毕。

追问

平行四边形HGEF的面积=2S△HGC，这样的结论正确吗？

追答

当然正确。S△HGC=HG*MD/2，平行四边形HGEF的面积=HG*MD=2S△HGC。这是等底等高的△和平行四边形的面积关系。

追问

GC=AG*AB/AH-AG
AH*GC=AG(AB-AH)
AH*GC/(AB*AC)=AG/AC-AG/AC*AH/AB=AG/AC-(AG/AC)^2
=1/4-(AG/AC-1/2)^2≤1/4
这几步能一步步详细说一下理由吗？有道理，加你100财富。

追答

由题意知HG∥BC，则AC/AG=AB/AH
GC/AG=BH/AH=AB/AH-1
GC/AG=AB/AH-1 (1)
把(1)两边同乘AG得到GC=AG*AB/AH-AG (2)
把(2)两边同乘AH得到AH*GC=AG(AB-AH) (3)
把(3)两边同除以AB*AC得到AH*GC/(AB*AC)=AG/AC-AG/AC*AH/AB
∵AC/AG=AB/AH
∴AH*GC/(AB*AC)=AG/AC-(AG/AC)^2
把上式右边配成平方式得到AH*GC/(AB*AC)=1/4-(AG/AC-1/2)^2≤1/4
∴S△ABC/S△HGC=AB*AC/(AH*GC)≥4

追问

高人呀，我懂啦，太感谢啦！加分，没商量！！！！！！！！！！！

Answer 2

假设BC=a，AD=h（a和h均为已知），则三角形ABC的面积S=ah/2
设EF=HG=x，由于三角形AHG相似于三角形ABC，所以AM:AD=HG:BC，AM:h=x:a，即AM=hx/a
所以平行四边形的面积S1=EF*MD=x*(AD-AM)=x*(h-hx/a)=h*x*(1-x/a)=ah*(x/a)*(1-x/a)
根据基本不等式，S1<=ah*[((x/a)+(1-x/a))/2]^2=ah/4=S*1/2
当且仅当x/a=1-x/a时，即x=1/2*a时取到等号。

追问

看不懂，‘根据基本不等式，S1<=ah*[((x/a)+(1-x/a))/2]^2=ah/4=S*1/2’这怎么得出的？

追答

基本不等式
a*b<=((a+b)/2)^2
这个不等式很容易证明，一打开化简就知道了！