Question

定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹢2)＝－f(x),且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于f(x)的判断：

1.f(x)关于直线X=1的对称;
2.f(x)在[1，2]上是减函数;
3.f(2)＝f(0).请给出答案和理由.谢谢!

Answer 1

1.真命题
定义在R上的奇函数f(x),
f(x﹢2)＝－f(x)=f(-x)
用x-1代替x
f(1+x)=f(1-x)
f(x)关于直线x=1的对称。
2。真命题
1≤x≤2
-1≤t=x-2≤0
f(t)是增函数
f(t)＝－f(x)是增函数
f(x)在[1，2]上是减函数。
也可以这样证，也许更清楚一些：
f(x﹢2)＝－f(x),
用x-2代替x
f(x)=-f(x-2)
f(x-2)=-f(x)

1≤x1<x2≤2
-1≤x1-2<x2-2≤0,
f(x)在[－1，0]上是增函数，
f(x1-2)<f(x2-2)
-f(x1)<-f(x2)
f(x1)>f(x2)

3。真命题。
在R上的奇函数f(x)
f(0)=f(-0)=-f(0)(事实上有f(0)=0.因此，有定理:如果奇函数在原点有定义，那么一定有f(0)=0)
又f(x﹢2)＝－f(x)
f(2)=f(2+0)=-f(0)=f(0)