用向量的坐标运算法证明三角形的三条高线交于一点
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解析:
证明：以AB边为x轴,AB边上的高为y轴(垂足为原点)建立直角坐标系，设A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)，且a≠b．
BC边与AC边的高线交于点P(x，y)，
(向量)BP＝(x-b，y)， AP＝(x-a，y)
BC＝(-b，c)， AC＝(-a，c)
∵ AC⊥BP
∴ AC·BP ＝0
∴ (-a)·(x-b)＋cy=0 ①
又 BC⊥AP ， BC·AP＝0
∴ (-b)·(x-a)＋cy=0 ②
由①，②得(a-b)x＝0，
∵ a≠b，∴ x＝0，∴ 点P在AB边上的高线上，
∴ 三角形三条高线相交于一点．
解析:
证明：以AB边为x轴,AB边上的高为y轴(垂足为原点)建立直角坐标系，设A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)，且a≠b．
BC边与AC边的高线交于点P(x，y)，
(向量)BP＝(x-b，y)， AP＝(x-a，y)
BC＝(-b，c)， AC＝(-a，c)
∵ AC⊥BP
∴ AC·BP ＝0
∴ (-a)·(x-b)＋cy=0 ①
又 BC⊥AP ， BC·AP＝0
∴ (-b)·(x-a)＋cy=0 ②
由①，②得(a-b)x＝0，
∵ a≠b，∴ x＝0，∴ 点P在AB边上的高线上，
∴ 三角形三条高线相交于一点．
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创远信科
2024-07-24 广告
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