Question

已知F1,F2是双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若双曲线上存在一点P ,使得|PF1|，2a，|PF2|成等差数

已知F1,F2是双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若双曲线上存在一点P ,使得|PF1|，2a，|PF2|成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（）A（1,2）B（1,2]C[2，+无穷）D（2，+无穷）

Answer 1

|PF1|，2a，|PF2|成等差数，所以|PF1|+|PF2|=4a，又由定义得到||PF1|-|PF2||=2a，
所以当|PF1|>|PF2|时，|PF1|+|PF2|=4a=2(|PF1|-|PF2|），所以|PF1|=3|PF2|
所以|PF2|=a，|PF1|=3a
当P为实轴端点时，可以求得c=2a，所以e=c/a=2，P运动，会使得a增大，但是c不变，所以e会变小，所以离心率的取值范围是（1,2]，选B

Answer 2

|PF1|，2a，|PF2|成等差数列
|PF1|+|PF2|=4a
不妨设P在右支上，
|PF1|-|PF2|=2a
|PF1|=3a
又PF1|≥a+c
∴3a≥a+c
2a≥c
∴ e= c/a≤2
又e＞1
∴1<e≤2
选 B