Question

已知数列｛an｝｛bn｝分别为等差数列，等比数列，且an=n,bn=4^n-1,数列｛an｝的通项

已知数列｛an｝｛bn｝分别为等差数列，等比数列，且an=n,bn=4^n-1,数列｛an｝的通项公式为cn=an·bn,求数列｛an｝的前n项和。要详细的解答过程，谢谢！

Answer 1

解：c[n] = n x 4^n -n
设 S[n] 为 c[n] 的前n项和。
设 A[n] 为 n x 4^n 的前n项和。
设 B[n] 为 n 的前n项和。
A[n] = 1 x 4^1 + 2 x 4^2 + ... + n x 4^n
4 x A[n]= 1 x 4^2 + 2 x 4^3 + ... + n x 4^(n+1)
-3 x A[n] = 1 x 4^1 + 1 x 4^2 + 1 x 4^3 + ... + 1 x 4^n - n x 4^(n+1)
-3 x A[n] = 4 x [1 - 4^n] / (1-4) - n x 4^(n+1)
-3 x A[n] = 4^(n+1) / 3 - 4/3 - n x 4^(n+1)
-3 x A[n] = (1/3 - n) x 4^(n+1) - 4/3
A[n] = (n/3 - 1/9) x 4^(n+1) - 4/9
B[n] = (n+1)n/2
S[n] = (n/3 - 1/9) x 4^(n+1) - 4/9 + (n+1)n/2

Answer 2

1.带入cn=n*(4^n-1)=4^n+1-n 2.a1=an=n 3.Sn=n+(4^n+1-n )/2