Question

二次函数应用题

（2007•黄冈）我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）．（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？

Answer 1

解：（1）这个显然是一个分段函数，
y=20- (x-100)/10×0.8
=-0.08x+28
100≤x＜200，
可见x=200元时，y=28-16=12（万件）
y=12- （x-200）/10×1=-0.1x+32，200≤x≤300，
（2）投资成本为480+1520=2000万元
y=-0.08x+28，100≤x＜200，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.08x+28）-2000
=-0.08x2+31.2x-3120
=-0.08（x-195）2-78
可见第一年在100≤x＜200注定亏损，x=195时亏损最少，为78万元
200≤x≤300，y=-0.1x+32，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.1x+32）-2000
=-0.1x2+36x-3280
=-0.1（x-180）2-40
可见第一年在200≤x≤300注定亏损，x=200时亏损最少，为80万元
综上可见，x=195时亏损最少，为78万元．
（3）两年的总盈利不低于1842元，可见第二年至少要盈利1842+78=1920万元，既然两年一块算，第二年我们就不用算投资成本那2000万元了．
第二年：
100≤x≤200时
第二年盈利=xy-40y=-0.08（x-195）2+1922≥1920
解不等式得到：190≤x≤200
200≤x≤300时
第二年盈利=xy-40y=-0.1（x-180）2+1960≥1920
解不等式得到：160≤x≤200，联合200≤x≤300，也就只有x=200
综上有190≤x≤200为解
这时候再看y=-0.08x+28，可见x=190时，y最大，为12.8
所以定价190元时候，销售量最大．

Answer 2

（1）y=20 (x=100)
y=20-0.8[(x-100)/10]
y=20-(x-100)/10