Question

高中数学对数函数习题

若（log1/2x)的平方-6log1/2x+8≤0,求f(x)=9(log4x）的平方-log2（x)的平方的最大值与最小值。 翻译准了再帮忙解答，以免出现错误，谢谢~

Answer 1

为简便计，将log已a为底b的对数记为log(a,b)，则原题即：若[log (1/2,x)]^2-6log(1/2,x)+8≤0，求f(x)=9[log(4,x)]^2-[log(2,x)]^2的平方的最大值与最小值。
解：[log (1/2,x)]^2-6log(1/2,x)+8=[log (2,x)]^2+6log(2,x)+8=[log (2,x)+2][log (2,x)+4]≤0得
-4≤log (2,x)≤-2，得1/16≤x≤1/4
于是f(x)=9[log(4,x)]^2-[log(2,x)]^2=9[1/2*log(2,x)]^2-[log(2,x)]^2=5/4*[log(2,x)]^2
则5/4*(-2)^2≤f(x)≤5/4*(-4)^2
5≤f(x)≤20
也即f(x)最大值为20，最小值为5

Answer 2

（log1/2x)的平方-6log1/2x+8≤0
2<=log1/2x<=4
-4<=log2 x<=-2
f(x)=9/2 *log2 x -2logx x=5/2log2 x
max=-5
min=-10

Answer 3

若（log1/2x)²-6log1/2x+8≤0,求f(x)=9(log4x)²-log2 x² 请问 x前面的系数是x的系数还是log的底数？

追问

x前面的是log的底数，求详细过程，谢谢~

追答

我把 log2（x)的平方 看成是 log以2为底 x²的对数 不知道对不对

设 (log1/2;x)=y，则原不等式可以化为 y²-6y+8≤0 即 (y-2)(y-4)≤0
所以 y∈[2,4]
运用换底公式 log4;x=(log1/2;x)/(log1/2;4)= -y/2
log2;x²=(log1/2;x²)/(log1/2;2)= -2 (log1/2;x)=-2y
所以 f(x)可以化为f(y)=9y²/4 +2y=9(y+4/9)²/4 -4/9
因为 y∈[2,4]
所以 f(y)的最小值为5 此时y=2， 最大值28 此时y=4
所以 f(x)的最小值为5 此时x=1/4， 最大值28 此时y=1/16

Answer 4

哪有题啊？

追问

题目已补充

追答

由已知条件可解出X的范围是（1/16，1/4），然后将所求的化成：f(x)=5/4log2x的平方，进而可求最大值为80，最小值5