Question

抛物线y=ax^2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，分别是（0，-1/2）（m-b,m^2-mb+n)a,b,c,m,n为实数，a,m不为0

（1）：求C的值
（2）：设抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的两个交点是（x1,0)(x2,0)，求x1x2的值
（3）：当X大于-1-小于等于1时，设抛物线y=ax^2+bx+c上与X轴距离最大的点为P（x0,y0)，求这时y的绝对值的最小值

Answer 1

(1)∵（0，﹣½ ）在y＝ax²＋bx＋c上，∴ ﹣½＝a×0²＋b×0＋c， ∴ c＝ .﹣½
(2)又可得 n＝﹣½ .
∵ 点（m－b，m²－mb＋n）在y＝ax²＋bx＋c上
∴ m²－mb ＝a（m－b）²＋b（m－b）
∴（a－1）（m－b）²＝0，
若（m－b）＝0，则（m－b， m²－mb＋n）与（0，﹣½ ）重合，与题意不合．
∴ a＝1．
∴抛物线y＝ax²＋bx＋c，就是y＝x²＋bx ．
△＝b²－4ac＝b²－4×（ ﹣½）＞0
∴抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的二次方程0＝ax²＋bx＋c的两个实数根，∴由根与系数的关系，得x1x2＝﹣½ ．
(3)抛物线y＝x²＋bx 的对称轴为x＝﹣b／2 ，最小值为﹣﹙b²＋2﹚／4 ．
设抛物线y＝x²＋bx 在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H，在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h．
①当 <－1，即b＞2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（ 1，yo），
∴｜H｜＝yo＝ ½＋b＞5／2
在x轴下方与x轴距离最大的点是（－1，yo）
∴｜h｜＝｜yo｜＝｜ －b｜＝b－ ½＞ 1.5
∴｜H｜＞｜h｜．∴这时｜yo｜的最小值大于5／2 .
② 当－1≤ ≤0，即0≤b≤2时，
在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），
∴｜H｜＝yo＝½ ＋b≥ ½，当b＝0时等号成立.
在x轴下方与x轴距离最大点的是 （﹣b／2 ，﹣﹙b²＋2﹚／4 ）
∴｜h｜＝｜﹣﹙b²＋2﹚／4 ｜＝ ﹙b²＋2﹚／4≥½ ，当b＝0时等号成立.
∴这时｜yo｜的最小值等于½ .
③ 当0＜ ≤1，即－2≤b＜0时,
在x轴上方与x轴距离最大的点是（－1，yo），
∴｜H｜＝yo＝｜1＋（－1）b ﹣½｜＝｜ ½－b｜＝½ －b＞ 2.5
在x轴下方与x轴距离最大的点是 （﹣b／2 ，﹣﹙b²＋2﹚／4 ）
∴｜h｜＝｜yo｜＝｜﹣﹙b²＋2﹚／4 ｜＝﹙b²＋2﹚／4 ＞½ .
∴ 这 时 ｜yo｜的 最 小 值 大 于½ .
④ 当1＜﹣b/2 ，即b＜－2时，
在x轴上方与x轴距离最大的点是（－1，yo），∴｜H｜＝ ½－b＞2.5 ,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(1，yo)，∴｜h｜＝｜ ½＋b｜＝－（b＋½ ）＞1.5 ，
∴｜H｜＞｜h｜,∴这时｜yo｜的最小值大于2.5 .
综上所述，当b＝0，x0＝0时，这时｜yo｜取最小值，为｜yo｜＝½ .

Answer 2

（1）将（0，-1/2）代入抛物线方程有C=-1/2
（2）采用点（0，-1/2)，（m-b,m^2-mb+n)代入抛物线方程及直线方程有n=c=-1/2
a(m-b)^2+b(m-b)+c=m^2-mb+n在对比以m为未知数的方程的系数有b=0 a=1
则抛物线方程为y=x^2-1/2
与X轴交点为（x1,0)(x2,0） 由韦达定理有X1X2=c/a=-1/2
（3）-1《=X《=1，与X轴距离最大的点为P（x0,y0)，为顶点。则y=x^2-1/2的绝对值的最小值为0

Answer 3

(1) 将（0，-1/2）代入抛物线y=ax^2+bx+c和直线y=mx+n中得c=n=-1/2
y=ax^2+bx-1/2与y=mx-1/2联解得x＝0或x=(m-b)/a=m-b=>a=1
(2) 抛物线为y=x^2+bx-1/2与y=0联解得x=[-b±√(b^2+2)]/2
(3)　∵y=x^2+bx-1/2与x=±1联解得y=1/2±b
即y=ax^2+bx+c上与X轴距离最大值为+∞
　实质上因为总条件中
抛物线y=ax^2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，分别是（0，-1/2）
所以在[-1,1]上抛物线始终要与x轴相交，
　∴这时y的绝对值的最小值为0

Answer 4

3）：当X大于-1-小于等于1时，设抛物线y=ax^2+bx+c上与X轴距离最大的点为P（x0,y0)，求这时y的绝对值的最小值

怎么画图