Question

数列的上下极限定义

Answer 1

对于数列{an}如果它收敛与一个有穷的极限，那么它的任一子列都收敛于这个极限。如果它不收敛于一个有穷的极限，但是有界，按照BolzanoWeierstrass定理，从中可以找出一个收敛的子列，如果{an}无界，那么总可以找到一个子列趋于正无穷或者负无穷。

我们把数列{an}的某个收敛子列的极限称为{an}的一个极限点。对收敛数列而言，极限点只有一个，就是它的极限值。对发散数列而言，如果它有界，则它可以有若干个或无穷多个极限点；如果它无界，则除了有限的点外，它还可以以正负无穷为极限点。

数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

著名的数列有斐波那契数列，卡特兰数，杨辉三角等。