Question

设a,b,c为正数,证明:方程ax2+bx+c=0和1/a x2+1/b x+1/c=0中,至多有一个方程有实根

设a,b,c为正数,证明:方程ax2+bx+c=0和1/a x2+1/b x+1/c=0中,至多有一个方程有实根 要详细过程，谢谢

Answer 1

假设两方程都有解
亦即 1) b^2-4ac>=0 ===>>> b^2>=4ac ===>>> 1/b^2<=1/(4ac)
2) 1/b^2-4/ac>=0 ===>>> 1/b^2>=16/(4ac)

1)与2)矛盾

得证

Answer 2

ax2+bx+c=0和1/a x2+1/b x+1/c=0，两个方程的判别式分别为
△1=b^2-4ac，△2=(1/b)^2-4(1/a)(1/c)
△1*△2=[b^2-4ac]*[(1/b)^2-4/ac]=1+16-[(4ac/b^2)+4b^2/(ac)]
因为a、b、c都是正数，所以由均值不等式得到△1*△2<=1+16-2*4=9
所以△1与△2都正或都负或一正一负，都有可能。

Answer 3

也就是证两个方程的判别式必有一个大于或等于0，自己证