Question

设a，b，c为实数，求证方程4ax3+3bx2+2cx=a+b+在(0，1)内至少有一个根．

Answer 1

【答案】：令f(x)=ax⁴+bx³cx²-(a+b+c)x，则f(0)=0，f(1)=0，故显然f(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件，从而存在ξ∈(01)，使f'(ξ)=0，即4aξ³+3bξ²+2cξ=a+b+c．故原题得证．
本题等价于证明[ax³+bx³+cx²-(a+b+c)x]'=0在(0，1)内有解．因而考虑函数ax⁴+bx³+cx²=(a+b+c)x．