Question

若P为三角形ABC所在平面上一点，且角APB=角BPC=角CPA=120度，则点P叫做三角形ABC的费尔马点。

若P为三角形ABC所在平面上一点，且角APB=角BPC=角CPA=120度，则点P叫做三角形ABC的费尔马点。
（1）若点P为锐角三角形ABC的费尔马点，且角ABC=60度，PA=3，PC=4，则PB的值为_____；
（2）如图，在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACB'，连接BB'。求证：BB'过三角形ABC的费尔马点P，且BB'=PA+PB+PC。
（好的加分）。

Answer 1

第一个问题：
∵P是△ABC的费马点，∴∠APB＝∠BPC＝∠APB＝120°。
由余弦定理，有：AC^2＝AP^2＋BP^2－2AP×BPcos∠APB＝9＋16－2×3×4cos60°＝13。
∴AC＝√13。
又∠ABC＝60°。
∴AB^2＝BC^2＋AC^2－2BC×ACcos∠ABC＝BC^2＋13－2√13BCcos60°＝BC^2＋13－√13BC。
∴AB^2－BC^2＝13－√13BC。

显然还有：
AB^2＝AP^2＋PB^2－2AP×PBcos∠APB＝9＋PB^2－2×3PBcos120°＝9＋PB^2＋3PB。
BC^2＝PC^2＋PB^2－2PB×PCcos∠BPC＝16＋PB^2－2×4PBcos120°＝16＋PB^2＋4PB。
∴AB^2－BC^2＝－7－PB。

由AB^2－BC^2＝13－√13BC、AB^2－BC^2＝－7－PB，得：13－√13BC＝－7－PB，
∴√13BC＝20＋PB，∴BC＝（20＋PB）/√13。
∴（20＋PB）^2/13＝16＋PB^2＋4PB，∴400＋40PB＋PB^2＝13×16＋13PB^2＋52PB，
∴12PB^2＋12PB＋13×16－400＝0，∴3PB^2＋3PB＋13×4－100＝0，
∴3PB^2＋3PB－48＝0，∴PB^2＋PB－16＝0，∴（PB＋1/2）^2＝16＋1/4＝65/4，
∴PB＋1/2＝√65/2，∴PB＝√65/2－1/2。

第二个问题：
以BC为边向△ABC外作等边三角形BCD。令AD与BB′的交点为E。
∵△ACB′、△BCD都是等边三角形，∴AC＝B′C、BC＝DC，∠ACB′＝∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCD＋∠ACB＝∠ACB′＋∠ACB＝∠B′CB。
由AC＝B′C、DC＝BC、∠ACD＝∠B′CD，得：△ACD≌△B′CB，
∴∠CAE＝∠CB′E、∠CDE＝∠CBE。
∴A、E、C、B′共圆、B、E、C、D共圆，∴∠AEC＝∠BEC＝120°，∴∠AEB＝120°。
∴P与E重合，∴费马点P在BB′上，即BB′过费马点P。

在PB′上取一点F，使PF＝PC。
∵△ACB′是等边三角形，∴B′C＝AC、∠CAB′＝60。
∵A、E、C、B′共圆，∴∠CPF＝∠CAB′＝60°，又PF＝PC，∴△PCF是等边三角形，
∴∠PFC＝60°，∴∠B′FC＝120°，而∠APC＝120°，∴∠B′FC＝∠APC。

∵A、E、C、B′共圆，∴∠CB′F＝∠CAP，结合证得的∠B′FC＝∠APC、B′C＝AC，得：
△B′CF≌△ACP，∴FB′＝PA。
∴BB′＝PB＋PF＋FB′＝PB＋PC＋PA，即：BB′＝PA＋PB＋PC。

Answer 2

(1)：∵∠ABC=60度
∴∠ABP+∠CBP=60度
又∵∠ABP+∠PAB=60度
∴∠CBP=∠BAP
又∵∠APB=∠BPC
∴△APB∽△BPC
∴BP的平方=PA×PC
∴PB=2√3