Question

已知函数f(x)对任意的实数x1,x2,满足2f(x1)×f(x2)=f(x1+x2)+f(x1-x2)且f(0)≠0

已知函数f(x)对任意的实数x1,x2,满足2f(x1)×f(x2)=f(x1+x2)+f(x1-x2)且f(0)≠0，则f(0)=
,此函数奇还是偶函数

Answer 1

首先，f(x)的定义域是全体实数，其关于原点对称；
其次：
令x1=0、x2=0，则
等式右边=f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(0)、等式左边=2f(0)*f(0)
所以2f(0)=2f(0)*f(0)
由于f(0)≠0，所以f(0)=1
令x1=0,则右边=f(x2)+f(-x2)=左边=2f(0)f(x2)=2f(x2)
所以f(-x2)=f(x2)，x2∈R。
即对于任何x，有f(x)=f(-x)
所以f(X)偶函数

Answer 2

偶函数
令x1=x2
再令x1=-x2
将得到的两式相比
得f(x)=f(-x)