Question

椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0的一个焦点为F(1.0)0为坐标原点

（Ⅰ）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，且当直线l的斜率为1，且有IOAI^2+IOBI^2<IABI^2求a的取值范围。

Answer 1

(1)设短轴的两个三等分点分别为M，N。那么三角形△FMN就是所说的等边三角形。
已知其中一条高OF=1，可知MN，而b=3MN/2,再根据a.b.c的关系就可以求出椭圆方程。
(2)首先方程可以些微x^2/(1/a)+y^2/(1/b)=1交点在X轴上1/a-1/b=1，得到b=a/(1-a)又因|OA|^2+|OB|^2＜|AB|^2移项得到|OA|^2+|OB|^2-|AB|^2＜0，可以转化为向量A（X1，Y1）B(X2，Y2) X1*X2+Y1*Y2＜0，直线方程已知为y=x-1，与椭圆方程联立可以得到(a+b)x^2-2bx+b-1=0 x1*x2=(b-1)/(a+b),x1+x2=2b/(a+b)又有y1*y2=(x1-1)(x2-1)=x1*x2-(x1+x2)+1。。。整理后得到y1*y2=(a-1)/(a+b)，将代入X1*X2+Y1*Y2＜0，又有a+b>0那么只要a+b-2<0就可以了将b=a/(1-a)代入整理得到a+a/(1-a)<2讨论1-a正负但是由于焦点在X轴上那么1/a>1...a<1所以其大于零时a<1得到a^2-4a+2>0 最后是（0,2-根号2 ）

Answer 2

①∵短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形
∴b=c a²=2b² =2c ² c=1
∴椭圆的方程x²／2 +y²=1