Question

过抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点M（P/2，P） 作倾斜角互补的两条直线

过抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点M（P/2，P） 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于A、B两点（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）已知A、B两点均在抛物线C：y2=2px（y≤0）上，若△MAB的面积的最大值为6，求抛物线的方程

Answer 1

（1）证明：设 A(y1^2/2p，y1) B(y2^2/2p，y2)
由KAM=-kBM可得y1+y2=-2p
∴ KAB=(y1-y2)/(y1^2/2p-y2^2/2p)=-1
（2）AB的方程为： y-y1=-(x-y1^2/2p)，即x+y -y1-y1^2/2p=0
点M到AB的距离d= |3p2-2py1-y1^2|/2√2p
AB=√2|x1-x2|= √2|y2^2/2p-y1^2/2p|=√ 2/2p|y1+y2||y1-y2|=2√2|p+y1|
又∵y1+y2=-2p，y1y2＜0 y1∈[-2p，0]
令p+y1=t ∴t∈[-p，p]
S△MAB=1/2•2√2|p+y1|•|3p^2-2py1-y1^2|/2√2p= (1/(2p))*I4p^2t-t^3|
设f（t）=|4p2t-t3| ∵f（t）为偶函数，故只需考虑t∈[0，p]时
f（t）=4p^2t-t^3，f′（t）=4p^2-3t^2＞0，∴f（t）在[0，p]单调递增
∴当t=p时，f（t）的最小值为：3p^3
∴S△MAB=(1/(2p))•3p^3=3p^2/2=6
∴p=2，则抛物线方程为：y^2=4x
不好意思符号多了些，还望见谅╭(∩ ω ∩#)╮