Question

已知向量m=（sinwx，-根号3coswx），n=（sinwx，cos（wx+π/2））（w＞0）函数f（x）=mn的最小正周期为π

1，求w的值 2将函数y=f（x）的图像向左平移π/12各单位，再将得到的图像上个点的横左边伸长到原来的4呗，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图像，求函数y=g（x）的单调递减区间

Answer 1

1.cos(wx+π/2)=-sinwx
则f(x)=mn=(sinwx)×(sinwx)+(-√3coswx)×(-sinwx)=sin²wx+√3coswxsinwx
=(1-cos2wx)/2 + (√3/2)sin2wx
=(√3/2)sin2wx - (1/2)cos2wx + 1/2
=sin(2wx - π/6) + 1/2
f(x)最小正周期=2π/2w
∵f(x)的最小正周期为π
∴2π/2w=π
w=1

2.向左平移π/12各单位：f(x)=sin(2x - π/6)=sin[2(x - π/6)]=sin[2(x - π/6 + π/12)]=sin[2(x - π/12)]=sin(2x - π/6)
图像上个点的横左边伸长到原来的4倍： f(X)=sin[2(x/4) - π/6]=sin(x/2 - π/6)
∵函数y=sinx的递减区间是[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]（k∈Z）
∴令x/2-π/6∈[2kπ+π/2，2kπ+3π/2] （k∈Z）
x/2∈[2kπ+2π/3，2kπ+5π/3] （k∈Z）
x∈[4kπ+4π/3，4kπ+10π/3] （k∈Z）
g(x)的单调减区间是：x∈[4kπ+4π/3，4kπ+10π/3] （k∈Z）