Question

若实数x,y满足4^x+4^y=2^x+1+2^y+1,则s=2^x+2^y的取值范围

Answer 1

令m=2^x>0，n=2^y>0，则原方程可化为m^2+n^2=m+1+n+1,
整理得，（m-0.5)^2+(n-0.5)^2=5/2 m,n>0

以m为横轴，n为纵轴画出上式图像(为一个圆),再取m，n>0的部分（即第一象限部分），显然原方程等价于圆上一段弧。

s=2^x+2^y=m+n，整理得n = -m+s(m,n>0),在m，n平面上对应一条斜率为-1，与n轴交点为s的在第一象限的线段。

依题意，线段与弧必须有交点。从图像可知，当线段平移至与弧交于（0，2），截距达min，即s最小值为2.当线段平移至与弧相切时，截距达max，，由勾股定理知此时s=1/2+根号5

所以，2<=s<=(1/2+根号5)

匆忙计算，数值可能有误

Answer 2

解：4^x+4^y=2^x+1+2^y+1变形为4^x-2^x-1=-4^y+2^y+1，令t1=2^x,t2=2^y,则有t1^2-t1-1=-(t2^2-t2-1)了;构造f(t1)=t1^2-t1-1,配方后求得f(t1)>=-5/4;同理=-(t2^2-t2-1)<=5/4,使t1^2-t1-1=-(t2^2-t2-1)成立就使得5/4=>f(t1)=f(t2)>=-5/4.j借助于图像，结合函数的凹凸性，不难知道两交点的横坐标之和及对应的两个极值。