Question

如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=-2x+5与y轴交于点A,交双曲线于点D(2,1)

如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=-2x+5与y轴交于点A,交双曲线于点D(2,1),将直线AD绕点A顺时针旋转90°交x轴于点B
(1)求反比例函数和直线AB的解析式
(2)已知点E,C分别是x轴y轴上一动点，是否存在C,E两点，使△CED~△AOB？若有，求点E坐标
(3)y轴上的动点C从A点开始以每秒1个单位的速度沿着AO方向运动，x轴上的动点E从B点开始以每秒3歌、个单位沿着BO方向移动，在双曲线上是否存在点F，使得以C,E,F为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t的值，不存在说明理由

Answer 1

解:(1)设反比例函数为y=k/x,图象过点(2,1).
∴1=k/2,k=2.故反比例函数解析式为y=2/x;
直线y=-2x+5与Y轴交于A(0,5),即OA=5;作DM垂直Y轴于M,因点M为(2,1).
则MA=5-1=4,MD=2.
易证得⊿AOB∽⊿DMA,则OA/MD=OB/MA,5/2=OB/4,OB=10.即点B为(-10,0).
由A(0,5)和B(-10,0)可求得直线AB的解析式为:y=0.5x+5.
(2)①当点E在X轴正半轴上时,点C在Y轴正半轴上,作DN垂直X轴于N,则ON=2,ND=1.
若△CED~△AOB,则CE/DE=AO/BO=1/2;且∠CED=∠AOB=90°
易知⊿COE∽⊿END,OE/ND=CE/DE=1/2,则OE=ND/2=0.5,即点E为(0.5 ,0);
②当点E在X轴负半轴上时,点C在Y轴负半轴上,同理可求得点E为(-0.5, 0).
(3)【本题中并未指明点C,E,F哪个为直角的顶点,因此要分情况讨论.】
①当∠CFE=90°时:
作FP垂直X轴于P,FQ垂直Y轴于Q,易证⊿EPF≌⊿CQF,则EP=CQ;PF=QF.
可设点P的坐标为(a,a),点P在y=2/x图象上,则a=2/a,a=±√2,故点F为(√2,√2)或(-√2,-√2);
设运动时间为t,EP=CQ,即10-3t-√2=5-t+√2或√2-(5-t)=3t-10-√2,得t=(5-2√2)/2或(5+2√2)/2;
②当∠ECF=90°时:同理相似可求得:t=3或9/2;
③当∠CEF=90°时:同理相似可求得:t=(35+√73)/12或(35-√73)/12.

Answer 2

(1) 因为反比例函数过点(2,1) 所以反比例函数为 xy=1*2=2 即 y=2/x
因为直线y=-2x+5，则A(0,5) ，直线旋转90°即过A点做原直线的垂线
所以AB直线的斜率为 -1/-2 =0.5,又直线AB过点A
所以 AB: y=0.5x+5
反比例函数:y=2/x

(2)因为 AB: y=0.5x+5 ,所以 A(0,5) B(-10,0)
因为 △CED~△AOB
所以 ∠CED=∠AOB=90°
① DE斜率不存在即 DE⊥x轴，则C点为原点(因为∠CED=90°，C在y轴上)
则E(2,0) C(0,0)
所以CE=2 ，ED=1
因为 △CED~△AOB
所以CE：ED=AO：OB
所以 2:1=5:10 （舍）
② DE斜率存在，设斜率为k，则DE： y=k(x-2)+1
所以E(2-1/k，0)
所以 直线CE 斜率为 -1/k 且过点E
所以 CE= -1/k *(x-2+1/k)
所以 C(0，2/k-1/k²)
所以 |CE|=[ |2k-1|*√(k²+1) ] /k²
|DE|=(√(k²+1) )/|k|
因为CE：ED=AO：OB=5:10=0.5
所以解得 k=2/3 或 2/5
所以 E(1/2，0) 或 E(-1/2，0)
综上所述 E (1/2,0) 或 (-1/2,0)
(3) 设：运动时间为t，F(a,2/a) 则C(0 , 5 - t) E(3t-10,0) CE：y=(t-5)x/(3t-10) +5-t
这一问太麻烦了，我可以告诉你思路。就是像我这样设
然后讨论直角的顶点分别为这三个点时
可以构造两个等式 第一个是直角边长度相等，第二个是直角边斜率相乘为-1
然后可以算出 t和a