Question

如图，△ABC内接于圆O，I为△ABC的内心，延长AI分别交圆O。BC于D、E两点 1、求证：DI=DB

2.连接OI，若OI⊥AD,AD=8,AC=5,求AB的长

Answer 1

(1)
连接BI
∠BIA=∠BAI+∠ABI、
因为 I为内心所以 BI为∠ABC的角平分线，AI为∠BAC的角平分线
所以 ∠BAI=0.5∠BAC ∠ABI=0.5∠ABC
所以 ∠BIA= 0.5(∠BAC+∠ABC)=90-0.5∠ACB
因为 ∠ACB=∠ADB
所以 ∠BIA=90-0.5∠ADB=90-0.5∠BDI
所以 ∠BIA=∠AIB
所以 BD=BI

(2)
因为 OI⊥AD
所以 AI=IB
又 AB=8 DB=BI
所以 AI=IB=DB=4
因为 AI是角平分线
所以 ∠BAD=∠EAC
因为 ∠BDA=∠BCA=∠ECA
所以 △BDA∽△ECA
所以 BD：EC=AD：AC
因为 DB=4 AD=8 AC=5
所以 EC=2.5
因为 ∠DBE=∠EAC 且 ∠BED=∠CEA
所以 △DBE∽△CAE
所以 DB：AC=DE：EC
因为 DB=4 AC=5 EC=2.5
所以 ED=2
因为 AD=8
所以 AE=6
因为 △BDA∽△ECA
所以 AB：AE=AD：AC
因为 AE=6 AD=8 AC=5
所以 AB=9.6