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如图,四棱锥中S-ABCD中,底面ABCD是棱形,其对角线的交点为O,且SA=SC,SA⊥BD,(Ⅰ)求证:SO⊥平面ABCD;(Ⅱ)设∠BAD=60°,AB=SD=2,...
如图,四棱锥中S-ABCD中,底面ABCD是棱形,其对角线的交点为O,且SA=SC,SA⊥BD,
(Ⅰ)求证:SO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)设∠BAD=60°,AB=SD=2,P是侧棱SD上的一点,且SB∥平面APC,求三棱锥A-PCD的体积 展开
(Ⅰ)求证:SO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)设∠BAD=60°,AB=SD=2,P是侧棱SD上的一点,且SB∥平面APC,求三棱锥A-PCD的体积 展开
4个回答
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(1)∵SA⊥BD且AC⊥BD∴BD⊥平面SAC∴BD⊥SO
又∵SA=SC且O为对角线的交点 ∴点O平分AC ∴SO⊥AC
∴SO⊥平面ABCD
(2)∵ABCD对角线的交点为O且SO⊥BD∴SD=SB=BD=2→SO=√3
又∵SB∥平面APC 且SO为四棱锥中S-ABCD的高 ∴三棱锥A-PCD的高/SO=SB/PD→高= (√3 )除以2 又∵S△ACD=AC*OD/2=√3 三棱锥A-PCD的体积=S△ACD*高/3=1/2=0.5
又∵SA=SC且O为对角线的交点 ∴点O平分AC ∴SO⊥AC
∴SO⊥平面ABCD
(2)∵ABCD对角线的交点为O且SO⊥BD∴SD=SB=BD=2→SO=√3
又∵SB∥平面APC 且SO为四棱锥中S-ABCD的高 ∴三棱锥A-PCD的高/SO=SB/PD→高= (√3 )除以2 又∵S△ACD=AC*OD/2=√3 三棱锥A-PCD的体积=S△ACD*高/3=1/2=0.5
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证明:(1)∵SA=SC ∴SO⊥AC
∵ABCD是棱形∴AC⊥BD,又∵SA⊥BD,且AC∩SA=A,∴BD⊥面SAC
∴SO⊥BD,AC∩BD=0,∴SO⊥平面ABCD
(2)∵ABCD是棱形,且∠BAD=60°,∴AB=BC=CD=AD=BD=2,且BO=OD
且ABCD的面积为:2√3,即ACD的面积为√3
又∵SO⊥BD,OD=1,SD=2,∴SO=√3
∵SB∥平面APC,∴在△SDB中,OP∥SB,又∵O为BD中点,∴P为SD中点
即P点到平面ABCD的距离为√3/2
∴三棱锥A-PCD的体积=三棱锥P-ACD=(√3X√3/2)/3=1 /2
∵ABCD是棱形∴AC⊥BD,又∵SA⊥BD,且AC∩SA=A,∴BD⊥面SAC
∴SO⊥BD,AC∩BD=0,∴SO⊥平面ABCD
(2)∵ABCD是棱形,且∠BAD=60°,∴AB=BC=CD=AD=BD=2,且BO=OD
且ABCD的面积为:2√3,即ACD的面积为√3
又∵SO⊥BD,OD=1,SD=2,∴SO=√3
∵SB∥平面APC,∴在△SDB中,OP∥SB,又∵O为BD中点,∴P为SD中点
即P点到平面ABCD的距离为√3/2
∴三棱锥A-PCD的体积=三棱锥P-ACD=(√3X√3/2)/3=1 /2
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(1)因为sa=sc,o为ac中点,所以so⊥ac
因为ABCD是菱形,AC与BD为对角线,所以ACBD
又因为SA⊥BD,所以BD⊥面ASO,所以BD⊥SO
BD交AC于O,所以SO⊥平面ABCD
因为ABCD是菱形,AC与BD为对角线,所以ACBD
又因为SA⊥BD,所以BD⊥面ASO,所以BD⊥SO
BD交AC于O,所以SO⊥平面ABCD
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