Question

已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,求证:E,B,F,D1四点共面

（1）求证:E,B，F，D1四点共面
（2）若点G在BC上，BG＝2／3，点M在BB1上，GM垂直BF，垂足为H，求证：EM垂直面BCC1B1
（3）用a表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的大小，求tana

Answer 1

(1)证明：用几何法
在BB1上取点W，令WB1=1
则WF∥B1C1∥A1D1
又∵WF=B1C1=A1D1
∴A1D1FW是平行四边形
∴D1F∥A1W
又∵EA1∥且=BW=2
∴EA1WB是平行四边形
∴EB∥A1W
∴EB∥D1F
∴:E,B，F，D1共面
（2）证明：用坐标法，部分计算省略
以D1为坐标原点D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴建立空间直角坐标系
G(7/3,3,3)，设M(3,3,z)
则向量GM=(2/3,0,z-3)
显然向量FB=(3,0,2)
因为GM⊥FB
可以求得z=2
∴M(3,3,2)
而E(3,0,2)
∴向量EM=(0,3,0)
∴显然EM∥AB
又∵AB⊥BCC1B1
∴EM⊥BCC1B1
（3）解：
由（2）可知∠EHM即为要求二面角的平面角
所以只需求出MH即可
显然△MHB∽△BCF
所以cos∠BMH=cos∠FBC=3/根号13
又∵BM=1
∴MH=3/根号13
∴tan a=EM/MH=根号13

Answer 2

证明：在DD1上取一点N使得DN=1，
连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F∥CN，
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，又
BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以
CN∥BE，所以D1F∥BE，所以E，B，F，D1四点共面；

标准答案。不骗你

Answer 3

解:(1)证明:在DD1上取一点N使得DN=1,连结CN,EN,显然四边形CFDN是平行四边形,所以DF//CN,同理四边形DNEA是平行四边形,所以EN//AD,且EN=AD,又
BC//AD,且AD=BC,所以EN//BC,EN=BC,所以四边形CNEB是平行四边形,所以
CN//BE,所以D1F//BE,所以E,B,F,D1四点共面.
(2)因为GM⊥BF,所以△BCF∽△MBG,所以=,即=,所以MB=1,因为AE=1,所以四边形ABME是矩形,所以EM⊥BB又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1,且EM在平面ABB1A1内,所以EM⊥面BCC1B1