Question

初中几何一道奥数难题（高分悬赏）

设D,E,F分别是正三角形ABC的边BC,CA,AB的中点,点P,Q,R分别在边DE,EF,FD上,且AR与EF相交于点Q,BP与DF相交于R，CQ与DE相交于点P，求S△ABC与S△PQR的比值
答案不是整数。希望能给出证明中间三角形是正三角形的完整过程。各位如果能再给出正三角形的严格完整证明过程我就采纳，十分感谢。

Answer 1

证△RPQ形状，我提供一种思路。
证：1：对于线段AR，QC已定时，存在B、R、P三点共线，根据此三点共线条件知线段BR斜率等于BP斜率。
2：由此作出平面坐标系，以B点为原点，BC为X轴，与BC垂直的直线y（未画图）为y轴，设BC=AB=AC=2m，设 FQ=x，由此可导出Q、R、P三点坐标。
#思路##若导出x与m的关系，以及证明x是否与RD相等，即证出△RPQ是否为等边三角形###
3：明显Q纵坐标为 根号3倍m。横坐标x+（m/2），即Q（x+（m/2），根号3倍m）
延长QR交BD于S（下面回答有图，借用），则BS=2x（中位线定理）→SD=m-2x，根据△FQR相似于△DSR，过R分别向FQ，SD作高，两条高分别记作h1,h2，
则h1/h2=x/m-2x，可推知R纵坐标为h2=2分之根号3×m × (m-2x) /m-x=根号3倍m × (m-2x) /2(m-x)，
设R对SD作高时交SD于K，则可求BK，即R横坐标。
∵KD=RD×COS60°，RD=m×(m-2x) /m-x，→KD=m×(m-2x) /2（m-x ）→BK=m-KD
∴ R坐标{m-[m×(m-2x) /2（m-x ）]，根号3倍m × (m-2x) /2(m-x)
，}
同理分析：求出点P坐标，此时QE=m-x，过Q作BC垂线，交BC于T,前面求得BT=x+（m/2），
CT=BC-BT=(3m/2)-x，
求出PC，PC纵坐标为 2分之根号3×m × m/2m-x，横坐标为 BC-（CT×m/2m-x），
设P,R点 纵坐标 为Y,横坐标为X， 则 ：
Yp/Xp=Yr/Xr......（1）， 由（1） 推出 x与RD的关系，
重点：由上分析有：只需证明x=RD=m×(m-2x) /m-x ， 即证明 FQ=RD，
若 △RPQ是等边三角形，也必然存在此关系。一旦 FQ=RD，由图形对称性质知转换X,Y轴，又可以证明RD=PE,从而证明△RPQ是等边三角形。反之，则不是。
为使证明计算简便，我令的m=2(正式的证明不建议这样做，不严密)，由（1）推得x^2-6x+4=0.
而若x=RD=m×(m-2x) /m-x成立，（此处m也令作2），也刚好推出x^2-6x+4=0.
故 命题得证。
至于接下来的求比值，在知道小三角形形状后，不难求。底下也有参考。
你之前的方法算出的结果若自己觉得不怎么对，可以试试我的这种：令m=2求出s△ABC，然后求出x，即FQ，也就求出了FR，再求s△QFR，那就很简单。s△QFR=FR·FQ·sin60°，求出这个，内部的正三角形面积就简单了（此时已证明△RPQ是等边三角形）。
若有什么问题，或是什么疑惑，请尽管找我。

Answer 2

以D为原点，BC为X轴，DA为Y轴建立直角坐标系
为了书写方便，设DC长为1
则可知坐标A（0，根号3）B（-1，0）C（1，0）
EF:y=根号3 /2
DF:y=-根号3*x
DE:y=根号3*x
设如下直线
AR:y=k1x+根号3
BP:y=k2x+k2
CQ:y=k3x-k3
他们分别与EF,FD,DE联立解得
P(k3/(k3-根号3),根号3*k3/(k3-根号3))
Q(-根号3/(2*k1),根号3/2)
R(-k2/(k2+根号3),根号3*k2/(k2+根号3))
分别代入BP,CQ,AR,整理如下
根号3k3=2k2k3-根号3k2
根号3k1=-2k1k3-根号3k3
k1k2=3
联立求解得
k1=根号15+2根号3
k2=根号15-2根号3
k3=-根号15/5
所以
P((根号5-1)/4,(根号15-根号3)/4)
Q((2-根号5)/2,根号3/2)
R((根号5-3)/4,(3根号3-根号15)/4)
计算可知PQ,QR,PR相等，为根号(7-3根号5)
S△ABC：S△PQR=4/(7-3根号5)

Answer 3

13.7082

Answer 4

设EP=a，FQ＝b，RD＝c
不妨设a≥b≥c
调整b，变大为a（即FQ增加），将导致RD即c变小，进一步EP即a变大
但将△ABC逆时针旋转60°，即EP旋转到FQ的位置，此时FQ旋转到了RD的位置，即RD位置变成了b。
两种方法得到的RD位置长度不一样，故矛盾。
所以a＝b＝c
即FQ＝RD＝EP，那么FR＝DP＝EQ
而△EFD为等边三角形，可证△FQR，△DRP，△EPQ全等
所以QP＝QR＝PR，即△PRQ为等边△

有了这个，也可知P为ED的黄金分割点，Q为EF的黄金分割点，R为FD的黄金分割点
这样求面积比也容易了

Answer 5

已经做出来了，证明中间三角形是正三角形的完整过程如下图(由于一次只能贴一张图本题求解过程请你追问，我再贴一张上去)。