Question

在抛物线Y=4X^2上求一点,使这点到直线Y=4X-5的距离最短

Answer 1

设点A（x,4x²）
直线 4x-y-5=0
d=|4x-4x²-5|/√(4²+1)
=|4x²-4x+5|/√17
=|(2x-1)²+4|/√17
所以 当x=1/2
即 A（1/2,1)时，嘴短距离为 4/√17=4√17/17

Answer 2

设抛物线Y=4X^2上的点的坐标是(x,4x^2)
用点到直线距离公式得
d=|4x-4x^2-5|/√17
可见，只需要求d的最小值即可
令4x-4x^2-5＝0=4x^2-4x+5
判别式△＜0
因此顶点处即最小值处，配方得
4x^2-4x+5＝(2x-1)^2+4
可见当2x-1=0,x=1/2时，有最小距离4√17/17
此时y=1
点的坐标为(1/2,1)

Answer 3

在抛物线Y=4X²上求一点,使这点到直线Y=4X-5的距离最短
解：y=4x-5的斜率K=4，故只需在抛物线y=4x²上找到导数等于4的点，那么过抛物线这一点的切线必平行于直线y=4x-5，于是这一点到直线的距离必最短。为此令：
y′=8x=4，得x=1/2，相应地y=4(1/2)²=1，即点(1/2，1)到直线4x-y-5=0的距离d最短，
dmin=︱2-1-5︱/√17=4/√17=(4/17)√17

Answer 4

先求与该直线平行且与抛物线相交的直线，用代入法，b^2-4ac=0,最短距离=两平行线间距离