Question

求解，证明过程请详细一点，谢谢！！

有n(n≥6)名乒乓球选手进行单循环赛(无平局)，比赛结果显示：任意5人中既有1人胜于其余4人，又有1人负于四人，求证：任何两人所胜的场次不相同。

十名乒乓球运动员参加循环赛，每两名运动员之间都要进行比赛，在循环赛过程中，n号运动员获胜Xn次，失败Yn次，n=1，2，3，.........10，证明：X1*2+X2*2
X3*2+..........+X10*2=Y1*2+Y2*2+.....+Y10*2

Answer 1

第二个问题：很简单。一场一场地统计：每场比赛，在X中增加1,在Y中增加1，所以X和与Y和总相等。
第一问等等，要吃饭了 好了现在作问题一。将人员按照胜的场次数多少从小到大排列为1,2,3....,n，对应各自胜的场数为xn，x1+x2+...+xn=(n-1)+n-2+n-3+...+2+1=n(n-1)/2,
则x1<=x2<=x3...<=xn, n*x1<=n(n-1)/2, x1<＝(n-1)/2
下边证明x1=0.
刚才证法有问题，需要从n=6开始递推。
n=6时如果x1！＝0,假设x1胜A，A胜B，B胜C，C胜D，D胜E（这种假设是成立的，否则x1ABCD中没有全胜人员）。现在x1ABCD中只有x1是全胜的，x1>=4, 而（n-1）/2=2.5,矛盾，所以n=6时，x1=0.
n=7时，x1与剩下的6人的每5人组合成6人应用n=6的推论，1号人员负于所有人，所以x1=0.
n=8时，x1与剩下的7人的每6人组合成7人应用n=7的推论，1号人员负于所有人，所以x1=0.
......
递推n>=6，x1=0.恒成立。

将2~n号人员看成n-1的问题，应用上述推论则2号负于3~n号人员。
递推有i号人员负于i+1~n号人员

依此类推，到最后5人时，设为ABCDE,其中有全胜的就是n号人员设为E，全负的是n-4号人员设为A。显然BCD的胜次数在A与E之间。
剩下BCD之间的较量。
如果BCD中没有全胜，因对称可以假设可以设D胜C，C胜B，B胜D。 这时取ABCD与1号人员组成5人组合，其中就没有全胜人员，矛盾。
所以BCD相互之间必有全胜者，设为D，则AB一胜一负。这样最后的5人ABCDE也都有不同的胜场数。
综合统计1　2　3~n号人员所胜场次为：0　1　2　3,...,n-1各不相同。
问题一证毕