Question

如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；

1、求点P的坐标及a的值。
2、如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．
3、如图2，Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4，抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标。

Answer 1

∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对，
顶点P的为（-2，-5）
可知点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，
作PK⊥NG于K，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2BH=6，
∴FG=3，点F坐标为（m+3，0）．
H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得：
PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，
PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，
NF2=52+32=34，
2∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m= 44/3，
∴Q点坐标为（19/3，0）．
②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=10/3，
∴Q点坐标为（2/3，0）．
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°
综上所得，当Q点坐标为（19/3，0）或（2/3，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．

Answer 2

解答：解：（1）由抛物线C1：y=a（x-2）2-5得顶点P的坐标为（2，-5）；
∵点A（-1，0）在抛物线C1上，
∴a（-3）2-5=0，
解得：a=
5
9
．

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，
∵点P、M关于点A成中心对称，
∴PM过点A，且PA=MA，
∴△PAH≌△MAG，
∴MG=PH=5，AG=AH=3．
∴顶点M的坐标为（-4，5），
∵抛物线C2与C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到，
∴抛物线C3的表达式y=-
5
9
(x 4)2 5．

（3）∵抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
由（2）得点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2AH=6，
∴EG=3，点E坐标为（m-3，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，-5），
根据勾股定理，得PN2=NR2 PR2=m2-4m 104，PE2=PH2 HE2=m2-10m 50，NE2=52 32=34，
①当∠PNE=90°时，PN2 NE2=PE2，
解得m=-
44
3
，即N点坐标为（-
44
3
，5）．
②当∠PEN=90°时，PE2 NE2=PN2，
解得m=-
10
3
，即N点坐标为（-
10
3
，5）．
③∵PN＞NR=10＞NE，
∴∠NPE≠90°；
综上所得，当N点坐标为（-
44
3
，5）或（-
10
3
，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．

Answer 3

解：把点B的横坐标是1代入y=a（x+2）2-5，求得a＝5/9，抛物线C1：y=5(x+2)^2/9-5