Question

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=_____

Answer 1

解：f(x-4)=-f(x)=f(-x)得
f(x)=f(4-x)，故函数f(x)以x=(x+4-x)=2为对称轴。
f(x-8)=-f(x-4)=-[-f(x)]=f(x)，故函数f(x)为周期为8的函数。
于是f(x)=f(4-x)=f(4-x-8*2)=f(-12-x)，故x=(x-12-x)/2=-6也是函数f(x)的对称轴。
奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，故f(2)>0为其在区间的最大值。由于f(x)以x=2为对称轴，故在[2,4]上为减函数，且f(4)=0。再考虑f(x)为奇函数，则在一个周期[-4,4]上，有：
f(-4)=0,f(-2)=-f(2)取到最小值,在区间[-4,-2]单调递减；f(-2)=-f(2),f(0)=0,f(2)=f(2),在区间[-2,2]单调递增；f(2)=f(2)取到最大值,f(4)=0,在区间[2,4]单调递减。
经上述分析，结合周期为8作出图像，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则必有两根在[-8,-4]上，另两根在[0,4]上。由于[0,4]上两根以x=2为对称轴，[-8,-4]上两根以x=-6为对称轴，故四根之和x1+x2+x3+x4=2*2+(-6)*2=-8

Answer 2

虑f(x)为奇函数，则在一个周期[-4,4]上，有：
f(-4)=0,f(-2)=-f(2)取到最小值,在区间[-4,-2]单调递减；f(-2)=-f(2),f(0)=0,f(2)=f(2),在区间[-2,2]单调递增；f(2)=f(2)取到最大值,f(4)=0,在区间[2,4]单调递减。
经上述分析，结合周期为8作出图像，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则必有两根在[-8,-4]上，另两根在[0,4]上。由于[0,4]上两根

Answer 3

f(x-4)=-f(x)
f[(x+4)-4]=-f(x+4)
∴f(x-4)=f(x+4)

f[(x-4)-4]=-f(x-4)=f(x)
即f(x)=f(x-8)
T=8f(-x-4)=f(4-x)=f(x-8)=f(x)
X1+X2+X3+X4=-8

Answer 4

8或-8