Question

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A.C不重合），点E在射线BC上

且PE=PB
求证 （1）PE垂直PD
2 PE=PD
设AP=X △PBE面积为Y
求出Y关于X的函数关系式，并写出X取值范围。

Answer 1

1、证明：连接PE，交CD于点F
∵正方形ABCD
∴BC＝CD
∵对角线AC
∴∠ACB＝∠ACD＝45
∵PC＝PC
∴△BCP全等于△DCP
∴∠CBP＝∠CDP
∵PE＝PB
∴∠CBP＝∠E
∴∠E＝∠CDP
∵∠E+∠EFC＝90, ∠EFC＝∠DFP
∴∠CDP+∠DFP＝90
∴∠DPE＝90
∴PE⊥PD
2、
∵△BCP全等于△DCP
∴PB＝PD
∵PE＝PB
∴PE＝PD
3、解：过点P作PG⊥BC
正方形边长为1
AB＝BC＝1
AC＝√2
AP＝X
CP＝√2-X
PG⊥BC，∠ACB＝45
PG＝CG＝√（√2-X）
BG＝BC-CG＝1-√（√2-X）
PB＝PE，PG⊥BC
BG＝EG
BE＝2BG＝2[1-√（√2-X）]
S△PBE＝BE*PG/2
＝2[1-√（√2-X）]* √（√2-X）/2
＝√（√2-X）-2+X
即Y＝√（√2-X）-2+X （√2/2＜X＜√2）