Question

an=3an-1+2^n,a1=3,求an的通项公式

我用了构造法和累加法.但求出不同答案

Answer 1

an=3an-1+2^n
an/3^n=a(n-1)/3^(n-1)+(2/3)^n
则
a1/3^1=1=1/3+2/3
a2/3^2-a1/3^1=(2/3)^2
a3/3^3-a2/3^2=(2/3)^3
……
an/3^n-a(n-1)/3^(n-1)=(2/3)^n
左右两边累加，得
an/3^n=1/3+2/3*[1-(2/3)^n]/(1-2/3)=1/3+2*[1-(2/3)^n]
an=3^(n-1)+2*(3^n-2^n) =7*3^(n-1)-2^(n+1)

Answer 2

a(n)=3a(n-1)+2^n
a(n)+2^(n+1)=3[a(n-1)+2^n]
则
a(n)+2^(n+1)
=[3^(n-1)]*[a(1)+2^2]
=7*3^(n-1)
a(n)=7*3^(n-1)-2^(n+1)