Question

如图，抛物线y=1/2x²-x+a与x轴交于A,B两点，与y轴交于C,其顶点在直线y=-2x上

（1）求a的值
（2）求A,B的坐标
（3）以AC,AB为一组邻边作平行四边形ACBD.则D关于x轴对称点D′是否在该抛物线上？

Answer 1

1）因为y=1/2x²-x+a
=(1/2)(x^2-2x)+a
=(1/2)(x-1)^2+a-1/2
所以顶点为(1,a-1/2)
因为顶点在直线y=-2x上
所以a-1/2=-2,
解得a=-3/2
2)因为y=1/2x²-x+a
=(1/2)x^2-x-3/2
=(1/2)(x^2-2x-3)
=(1/2)(x-3)(x+1)
所以A,B两点坐标为(3,0),(-1,0)
3)抛物线y=1/2x²-x+a与y轴交点C(0,-3/2)
A,B中点坐标为(1,0)
所以D(2,3/2)
D关于x轴对称点D′坐标为（2，-3/2）
当x=2时，y=-3/2
所以D'在该抛物线上

Answer 2

(1) 因为顶点过直线y=-2x，且y=1/2*x^2-x+a=1/2(x-1)^2+a-1/2
所以a-1/2=2 => a=-3/2
(2) 有y=0解得
A B的坐标是（-1,0）（3,0）
（3）
直线AD：y=(3/2)/3(x+1）=（x+1）/2
直线BD：y=3/2/（-1）（x-3）=-3（x-3）/2
交点为（2,3/2），关于x轴对称的点D'为（2，-3/2）在抛物线上。

Answer 3

（1）由顶点公式得顶点的x=1，代入y=-2x中得y=-2，即[4×(1/2)a-1]/(4×1/2)=-2
所以a= -3/2
(2)解方程1/2x^2-x-3/2=0，得A(-1,0),B(3,0)
(3)易知D的y坐标=3/2,x坐标=OB-OA=3-1=2,将x=2代入y=1/2x^2-x-3/2=-3/2,因此点D关于x轴的对称点(2,-3/2)在抛物线上

Answer 4

1）因为y=1/2x²-x+a
=(1/2)(x^2-2x)+a
=(1/2)(x-1)^2+a-1/2
所以顶点为(1,a-1/2)
因为顶点在直线y=-2x上
所以a-1/2=-2,
解得a=-3/2
2)因为y=1/2x²-x+a
=(1/2)x^2-x-3/2
=(1/2)(x^2-2x-3)
=(1/2)(x-3)(x+1)
所以A,B两点坐标为(3,0),(-1,0)

Answer 5

解：（1）∵抛物线y=
1
2
x2-x+a其顶点在直线y=-2x上．∴抛物线y=

1
2
x2-x+a，=

1
2
（x2-2x）+a，=

1
2
（x-1）2-

1
2
+a，∴顶点坐标为：（1，-

1
2
+a），∴y=-2x，-

1
2
+a=-2，∴a=-

3
2
；

（2）二次函数解析式为：y=

1
2
x2-x-

3
2
，∵抛物线y=

1
2
x2-x-

3
2
与x轴交于点A，B，∴0=

1
2
x2-x-

3
2
，

整理得：x2-2x-3=0，
解得：x=-1或3，
A（-1，0），B（3，0）；

（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，
在△AOC和△BDE中
∵

∠DEB=∠AOC∠DBE=∠CAOBD=AC
∴△AOC≌△BDE（AAS），
∵AO=1，
∴BE=1，
∵二次函数解析式为：y=

1
2
x2-x-

3
2
，∴图象与y轴交点坐标为：（0，-

3
2
），∴CO=

3
2
，∴DE=

3
2
，D点的坐标为：（2，

3
2
），∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，-

3
2
），代入解析式y=

1
2
x2-x-

3
2
，∵左边=-

3
2
，右边=

1
2
×4-2-

3
2
=-

3
2
，

∴D′点在函数图象上．