Question

6.设u=xyz,而z=z(x,y)是由方程 x^3+y^3+z^3-3xyz=0 所确定的隐函求

Answer 1

根据题目中所给的方程：
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0
将u=xyz代入上式，得：
x^3 + y^3 + u^3/(x^3 y^3) - 3u = 0
整理化简得：
u^3 + 3u - x^3 y^3 (x^3 + y^3) = 0
令f(u) = u^3 + 3u - x^3 y^3 (x^3 + y^3)，则所求的偏导数为：
∂u/∂x = (df/du)/(df/dx)
对f(u)求偏导数：
f'(u) = 3u^2 + 3
对x求偏导数：
∂f/∂x = -3x^2 y^3 (x^3 + y^3)
因此，
∂u/∂x = -f'(u)/∂f/∂x = -(3u^2 + 3)/(-3x^2 y^3 (x^3 + y^3)) = (u^2 + 1)/(x^2 y^3 (x^3 + y^3))
同理可得，
∂u/∂y = (u^2 + 1)/(x^3 y^2 (x^3 + y^3))
∂u/∂z = (3u^2)/(x^3 y^3)
因此，由隐函数定理可知，z(x,y)在(x,y)处可微，且
∂z/∂x = -∂u/∂x / ∂u/∂z = -(u^2 + 1)/(3u^2 x^2 y^3)
∂z/∂y = -∂u/∂y / ∂u/∂z = -(u^2 + 1)/(3u^2 x^3 y^2)
将u=xyz代入上式，得
∂z/∂x = -(x^2 y^2 + 1)/(3x^2 y^3)
∂z/∂y = -(x^2 y^2 + 1)/(3x^3 y^2)
因此，z=z(x,y)的偏导数为：
∂z/∂x = -(x^2 y^2 + 1)/(3x^2 y^3)
∂z/∂y = -(x^2 y^2 + 1)/(3x^3 y^2)