Question

计算1+1/2+（1/3-1）+1/4+1/5+（1/6-1/2）+1/7+1/8+（1/9/1/3）......

1/9/1/3是1/9-1/3
要说明理由，过程，我们老师说了答案是ln3,但是我就算不出来

Answer 1

这样更好：
原式变成(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+...)-(1+1/2+1/3+...)
注意到前面一个括号里的项数总是后一个括号里项数的3倍，而且现在求的是无穷多项，那么前一个括号里的和无限接近ln(n),后一个括号里自然就无限接近ln(n/3),两项一相减,自然结果就是ln(n)-ln(n/3)=ln3

Do you understand?

Answer 2

将括号内的数分成两部分,1/3,1/6,1/9...与-1,-1/2,-1/3...如果是无穷项,则1,1/2,1/3...与-1,-1/2,-1/3...对消,只剩1/3,1/6,1/9...这个数列求和.该数列的通项为An=1/3n,就相当与调和基数求和再乘于1/3.而调和级数到目前为止无求和公式.只有近似公式(n趋于无穷大时)为lnn+C,其中C为一无理数,叫做欧拉初始,约为0.5772...(无理数).所以最后的结果就是1/3*(lnn+C).